4.3. Искажение сигнала во входном фильтре. Метод парных эхо

Метод впервые опубликован в 1930г. Согласно процедуре двойного преобразования Фурье выходное напряжение фильтра описывается формулой:

где Ф(ω) - частотная характеристика фильтра, на выходе которого мы ищем форму сигнала, а F(ω) - спектр входного неискаженного сигнала. Найти искажения гармонического сигнала очень просто, они определяются отклонением частотной характеристики фильтра Ф(ω) от 1. Однако с импульсным сигналом все значительно сложнее.

Будем считать Ф(ω) характеристикой ФНЧ. В области малых отклонений от 1 его форму можно аппроксимировать косинусоидой:

F(jw)=а₀Ф(0)+a₁Ф(0)cos(2πw/L)+а₂Ф(0)cos(4πw/L)+… (3)

Используем формула Эйлера:

cosX=1/2(exp(jwX)+exp(-jwX)). (4)

После подстановки в исходное выражение (2) получаем выходной сигнал в виде неискаженного исходного и "парных эхо", сдвинутых на +/- L и искажающих сигнал

f_вых(t)=a₀Ф(0)f_вх(t)+a₁Ф(0)f_вх(t-1/L)+Ф(0)f_вх(t+1/L))+... /5/.

Выражение (5) позволяет найти искажения в каждой точке импульсного сигнала. Однако эта процедура трудоемкая.

Метод разложения в ряд Тейлора

Можно упростить процедуру нахождения искажений выходного сигнала. Для этого нужно использовать разложение частотной характеристики фильтра в ряд Тейлора. Пусть попрежнему Ф(jw) частотная характеристика фильтра. Будем считать, что в полосе частот полезного сигнала неравномерности коэффициента передачи не велики. Тогда разложение в ряд Тейлора по степеням (jw) вокруг точки w=0 быстро сходится:

Ф(0+jw)= Ф(0)+(jw)_*Ф`(0)+(jw)²Ф``(0)/2! ...(6),

где Ф(0)-значение частотной характеристики в точке 0, а Ф`, Ф``...- производные по ω в точке 0.

Форму сигнала f(t) на выходе фильтра находится по стандартной формуле преобразования Фурье через спектр сигнала F(w) <═> f(t):

П одставляя разложение /6/ в интеграл /2/ и замечая, что умножение спектра на jw соответствует взятию производной сигнала f(t), получаем:

f_вых(t)=Ф(0)f_вх(t)+Ф'(0)f '_вх(t)+Ф"(0)f "_вх(t)/2!+..../3/

Обычно мы наблюдаем только f_вых(t). В силу фактора малости искажений мы можем в правой части /3/ f_вх(t) заменить на f_вых(t) и получим окончательно:

f_вых(t)=Ф(0)f_вых(t)+Ф' (0)f '_вых(t)+ Ф"(0)f "_вых(t))/2!+…/7/

Выражение /7/ приближенное в силу замены f_вх(t) на f_вых(t), однако используя последовательность итераций можно получить желаемую точность. Особо подчеркнем, что значения погрешности находятся в любой заданной точке сигнала f_вых(t).

Следуя (7) можно утверждать, что искажения сигнала фильтром можно находить имея лишь его запись или график. Надо взять производные в интересующей точке и знать производные разложения частотной характеристики фильтра. Мы не только можем находить искажения, но и устранять их последующей обработкой. Значения производных частотной характеристики фильтра в точке Ф(0) принимают метрологическую нагрузку и могут записываться в паспорте прибора для использования и получения сравнимости результатов анализа, полученных на разных приборах.

Пусть входным сигналом для фильтра первого порядка с полосой пропускания 100Гц по уровню -3дВ является QRS импульс. Длительность импульса R по уровню 0.7 равна 20 мС. Тогда следуя /7/ искажение амплитуды в точке максимума R составит -2%. Это значение не столь мало, ибо обычно от усилителя в целом требуется 5% точность передачи сигнала.