7.5 Равенство Парсеваля

7.6. Системы базисных функций

Кратные синусоиды не единственная система базисных функций, но исторически она была первой. Часто используются базисные ряды в виде полиномов. Все подобные разложения называют Фурье разложениями, а ряды найденных коэффициентов - спектрами. Желательно, что бы произвольный базисный ряд обладал свойством ортогональности. Напомним, что разложения Фурье одновременно являются:

а) нахождением коэффициентов, при которых члены базисного ряда становятся наименее уклоняющимися от исходной функции,

б) нахождением корреляций между функцией и членами базисного ряда,

в) нахождением проекций функции на систему базисных векторов.

Точное разложение требует бесконечного числа членов ряда, но на практике желательно использовать ограниченное их число. Возникает погрешность разложения. Погрешность оценивается величиной среднего квадрата остаточной ошибки или «невязки». Квадрат невязок нам уже знаком и имеет вид:

, где θ_i(t) является членом ряда Фурье. Проверка достаточности разложения состоит в сравнении величины невязки при добавлении нового члена разложения. Если при этом невязка изменяется мало, то число членов выбрано правильно.

Набор базисных функции можно конструировать самостоятельно в каждом конкретном случае, например раскладывать сигнал на заданное число фрагментов известных образов. Этот набор не обязан быть ортонормированным, однако тогда теряются удобства независимости нахождения коэффициентов спектра. Как следствие будет требоваться одновременное, совместное нахождение коэффициентов разложения .

7.7. Разложение функций по ортогональным полиномам

Базисный ряд синусоид хорошо применим для композиции осцилирующих функций, однако многие функции монотонны. Для них удобнее другие базисные системы, например на основе полиномов типа А+Бх+Сх²+... Для обеспечения свойств ортонормированности полином А+Бх+Сх²+... перегруппируется, тогда он называется полиномом Лежандра: аР₀+бР₁+сР₂… . Покажем последовательность перегруппировки:

Р₀=1, Обратно: 1=Р₀,

Р₁=х, х=Р₁,

Р₂=1/2(3х²-1), х²=1/3(2Р₂+Р₀),

Р₃=1/2(5х³-3х), х³=1/5(2Р₃+3Р₁),

Р₄=35/8х⁴-15/4х²+3/8, и т.д.

Многочлены Лежандра ортогональны на интервале Х= -1,+1. Коэффициенты разложения при каждом Р_i так же называются Фурье коэффициентами и обладают всеми свойствами спектров.

Кроме полиномов Лежандра используются ортогональные полиномы Чебышева, Лаггера, Эрмита и др. Они отличны тем, что исходный полином типа А+Бх+Сх²+... умножается на весовую функцию Ф(х). У них различны интервалы существования. При этом ортогональность достигается только с учетом весовой функции:

.

где [a,b]- интервал ортогональности, Аn является квадратом нормы каждого члена ряда, n - номер члена ряда. Для приведения к ортонормированному виду каждый член ряда необходимо разделить на . Список некоторых весовых функций собран в таблице 2:

Таблица 2

Тип полинома	Весовая функция Ф(х). Интервал ортогональности Х:	Вид первых членов полинома (P0=L0=H0=T0=1) An - квадрат нормы
Лежандра (Р)	Ф(х)=1, Х от -1 до +1	Р1=х, Р2=1/2(3х2-1), ... An=2/(2n+1)
Лагерра (L)	Ф(х)=ехр(-х), Х от 0 до +	L1=-x+1, L2=x2-4x+2, ... An=(n!)2 (0!=1)
Эрмита (H)	Ф(х)= ехр(-х2), Х от - до +	H1=2x, H2=4x2-2, ..... An=2nn!
Чебышева (T)	Ф(х)=1/( ). Х от -1 до +1	T1=x, T2=2x2-1, An= π/2(при n=m 0), = π (при m=n=0)

Вид графика первых членов перечисленных полиномов показан на рис 7.5.

О тметим еще базисную систему меандровых функций Уолша. На рис 7.6 показана форма разложения непрерывной функции по меандровым полиномам Уолша. Каждый член полинома принимает только два значения +1 и -1. Такое дискретное представление обе­спечило широкое их применение в вычислительной технике. Система полиномов Уолша ортогональна на интервале 0-N (обычно приводится к интервалу 0-1). Функции Уолша часто упоминаются рядом с фамилиями Адамара, Пелли, Радамахера, развивавших подобные системы меандровыых функций. В заключение отметим, что преобразование функции к точечным отсчетам Котельникова/Уиттакера так же является формой преобразования Фурье.