8.3.2 Разделение сигнальной и шумовой функции

Однозначное выделение пика апостериорной вероятности достигается при достаточно большом отношении сигнал/шум. Для оценки этого желаемого отношения наш сигнал у(t) и его преобразованную величину q(τ) мысленно разделим на две составляющие:

Функции g и h называются сигнальной и шумовой. Сигнальная функция является автокореляционной функцией эталона (для нашего случая она представлена на рис 8.1б). Ее значение в максимальной точке g_макс =2Е/N. Шумовая составляющая h(τ) является случайной функцией от τ, точнее, шумом n(t), отфильтрованным фильтром, согласованным с сигналом (Рис 8.2г). Дисперсия h(τ) так же равна значению 2Е/N. Величине 2Е/N₀ целесообразно дать отдельное обозначение: R=2Е/N₀. Этот параметр равен пиковому значению сигнальной функции g(τ), среднему квадрату шумовой функции h(τ) и отношению мощности сигнала к мощности шума в q(τ).

8.3.3 Ошибки случайного смещения

Мы можем сформировать оценку точечную или интервальную. С интервальной оценкой все просто, если нас удовлетворяет величина доверительной вероятности нахождения оценки. В качестве точечной оценки принимаем максимум q(τ). Этот максимум не совпадает с истинным значением τ₀ т.к. существуют малые шумовые сдвиги вокруг истинного значения. По этому для точечной оценки обязательно надо указывать дисперсию оценки и вероятность аномальных ошибок.

Для нахождения τ^ (как и для всякого определения точки максимума) берется производная q(τ) и приравнивается нулю. .

Процедура завершена, τ^ найдена. Необходимо еще найти дисперсию этой оценки. Для этого сигнальную функцию g(τ) разложим в ряд Тейлора вокруг точки τ₀:

g(τ-τ₀)=(2/N₀)(1+ (1/2)g¹¹(τ₀)х(τ-τ₀)²).

После взятия производной q(τ) в целом и приравнивания нулю можно выделить ошибку оценки (τ-τ₀):

Дисперсия ошибки (τ-τ₀) находится как ее средний квадрат:

Как мы видим, дисперсия оценки τ пропорциональна уровню шума N₀ и пропорциональна ширине пика сигнальной функции g(τ), точнее обратно пропорционально квадрату ее второй производной в точке τ₀. Сопутствующие преобразования показаны на рис 8.3. Теперь остается найти вероятность аномальных ошибок (неоднозначности).

8.3.4 Ошибки неоднозначности

Если значение R недостаточно велико, например меньше 6, то возникают ложные пики р_у(τ). Явно видна возможность двух родов ошибок измерения: 1 - ошибки неоднозначности (аномальные) и 2 - случайные погрешности в области точного значения параметра (нормальные). На рис 8.4 представлено изменение р_у(τ) для разных значений R. Вероятность появления аномальных ошибок определяется значением отношения сигнал/шум R и числом интервалов размещения сигнальной функции g(τ) на априорном диапазоне существования τ (а также выбранным порогом обнаружения). Если интервал существования τ содержит М позиций и они равновероятны, то на каждой позиции установленный порог может быть пересечен шумовым пиком R с конкретной вероятностью Р_лт. Нам необходимо определить вероятность ложного пересечения хотя бы на одном их М наблюдаемых интервалов. Вероятность не пересечения на М интервалах равна (1-Р_лт)^М. Вероятность пересечения хотя бы на одном их М интервалов равна: 1-(1-Р_лт)^М или примерно МР_лт.. Уровень ложных тревог растет линейно с увеличением числа возможных позиций сигнала.