8.2 Оптимальная фильтрация сигнала в шуме

Первой задачей инженера является выделение сигнала из шумов. Пусть мы не знаем сигнал полностью, но нам известна его автокорреляционная функция или его энергетический спектр, а также вид спектра маскирующего шума. Остановимся на следующей задаче: как подобрать выделяющий фильтр для получения наименее искаженного (наименее уклоняющегося от исходного) сигнала? Эту задачу поставил и решил Р. Виннер. Он показал, что частотная характеристика фильтра, обеспечивающего наименее искаженную передачу сигнала (в смысле минимума среднего квадрата ошибки) должен иметь вид:

,

где К_в(ω)- искомая частотная характеристика оптимального фильтра. F_с(ω) энергетический спектр сигнала и F_п(ω) - помехи.

Из представленного выражения видно, что коэффициент передачи К_в(ω) должен быть равен 1 там, где сигнал много больше шума и нулю там, где шум много больше сигнала.

Этот результат применим и к пространственной фильтрации. Например, если источник помех четко локализован в пространстве и разнесен от источника сигнала по угловым координатам. Биполярное электродное отведение имеет диаграмму направленности в виде восьмерки. Можно так расположить электроды, чтобы ноль диаграммы направленности совпадал с направлением на источник помех. Этим обеспечивается пространственная фильтрация - подавление помехи и неиска­женное наблюдение сигнала.

8.3 Оценка параметров. Потенциальная точность

Задачи обнаружения сигналов в шумах в медико биологических исследованиях почти не возникают (Теория обнаружения кратко изложена в приложении 5). Однако повсеместно необходимо измерять параметры сигнала, например, амплитуду, латентный период, длительность и др. Кроме того очень важно получать оценки точности и надежности таких измерений.

Если априорно известен эталон сигнала, то проводится полное совмещение сигнала и эталона. После этого нетрудно вычислить параметры. Процедура совмещения эквивалентна взаимному вычитанию до получения минимального остатка. В остатке останется только шум. Знание статистических характеристик этого шума позволяет делать суждения о надежности совмещения и вычитания. Рассмотрим подобную задачу на примере измерения запаздывания пробегающего им­пуль­са возбуждения нервного волокна. Форма импульса u(t-τ) близка к показанной на рис 8.1. Считаем ее эталонной с неизвестным параметром сдвига τ. Полный воспринимаемый сигнал с шумом запи­сывается как y(t):

y(t) =u(t-τ_о)+шум.

При использовании записи отсчетами считаем, что все составляющие шума независимы. Неизвестна и амплитуда U, но для упрощения примем ее равной 1. Задержка τ₀ постоянна при обследовании. Нас интересует оценка τ^ значения τ_о и характеристики надежности этой оценки. Математики рассматривают два метода решения поставленной задачи: байесовский метод и метод максимума функции правдо­по­добия (МФП).

8.3.1. Байесовский метод

В этом методе искомая задержка τ считается случайной величиной с известным априорным распределением вероятности р_а(τ). Метод позволяет найти распределение апостериорной вероятности задержки р(τ/у). Знание апостериорной вероятности это максимум информации, которую может дать эксперимент. Имея график плотности апостериорной вероятности можно получать точечную или интервальную оценки τ^, определять дисперсию этой оценки в первом случае или вероятность ее нахождения в выбранном интервале во втором, т.е. знать вероятности возможных ошибок.

Произошло два совместных события (а,б), заключающееся в том, что:

1) в нашем эксперименте выпало значение τ₀ и

2) выпала конкретная реализации маскирующего шума. Мы приняли график:

y(t)=u(t-τ)+шум.

Нам известно распределение шума и, следовательно, условная вероятность полученной реализации: p(y/τ). Однако нам нужна вероятность τ или "обратная вероятность" р(τ/у). Она находится из формулы Байеса: (Бейес, 1791г). Он установил правило умножения вероятностей:

.

откуда p(τ/y)=p_y(τ)=kp_a(τ)p((y-u)/τ).

Будем считать y(t) состоящей из множества независимых отсчетов. В этом случае совместная вероятность равна произведению П₁^N парциальных:

p(τ/y)=p_y(τ)=kp_a(τ)П₁^Np_i((y-u)/τ).

Для гауссова закона распределения произведение под знаком экспоненты переходит в сумму (или интеграл) по всей области существования y(t):

Видно, что мы вновь пришли к вычитанию образа из сигнала не предполагая этого зарание. Раскроем квадрат под интегралом:

_,

где р_а(τ)- плотность априорного распределения значений τ, k- нормирующий множитель, остальные обозначения ясны из текста. Фактически отыскивается минимум расстояния между y(t) и u(t-τ) или корреляция или наблюдается выход согласованного фильтра с откликом u(t-τ), т.е. проводится операция свертки y(t) и u(t-τ).

Фильтр с откликом, совпадающим с функцией эталона (но прочитанного в обратном времени) называется согласованным фильтром. Коэффициент передачи такого фильтра является комплексно сопряженным со спектром функции эталона. Этот фильтр максимизирует отношение сигнал/шум в решающем правиле. (Этот фильтр называется фильтром Норса. Норс опубликовал структуру этого фильтра в 1943 году. Статья была засекречена американцами до 1955 года и отечественные инженеры пользовались упрощенными оптимальными фильтрами академика Сифорова).

На рис 8.2а изображен типичный образец гауссова шума с шириной полосы от 0 до W (W-произвольно большая.). Эталон сигнала u(t) имеет начало отсчета в момент изменения знака. Он лишь условно, для наглядности показан известным на графике рис 8.2б. Введем Обозначение:

,

где Т охватывает все возможные положения сигнала. В q(τ) обьединены все элементы, зависящие от τ. На графике рис 8.2г видно, как образование q(τ) уменьшает полосу шума и его величину. Корреляционная функция фильтрованного шума становится одинаковой с автокорреляцией сигнала u(t) → g(t). Уже зрительно ясно, где находится сигнал, ибо q(τ) имеет максимум в области истинного τ. Отметим, что для определения τ нет необходимости знания формы q(τ), ибо нам нужна только верхушка, максимум. Информация, содер­жащаяся в форме u(t) уже была полностью использо­вана при нахождении q(τ). Переход от q(τ) к апостериорной информации происходит с использованием экспоненциального преобразования:

р_у(τ)=кр_а(τ)ехр{q²(τ)}. (Мы предполагаем, что априорное распределение р_а(τ) равно­мерно).

Последнее преобразование д) четко выделило один пик графика. Сомнения в значении τ кончаются. В качестве оценки τ^ принимаем значение максимума р_у(τ). При желании вместо максимума можно находить центр тяжести пика. Так же мы можем найти вероятность присутствия сигнала, определив площадь под пиком (т.е провести интервальную оценку, а заодно и обнаружение).