Доказательство принципа взаимности

Принцип взаимности утверждает: коэффициент передачи потенциала от дипольного источника к приемным электродам не изменяется, если заряды излучающего диполя и приемные электроды поменяем местами, как показано на рис 2.14. Действительно, пусть мы имеем диполь и биполярное отведение. Диполь представим как пару монополей: в этом случае принимаемое электродом "к" поле выражается как Uк=Е/Rк, где Rк- расстояние до к-го электрода. Заряды диполя расположены в точках 1м, 2м, а приемные электроды в точках 1э, 2э. Электродное отведение

примет сигнал от диполя (пары монополей) величина которого определена выражением:

U_1э2э=Е*(1/R_1м1э-1/R_2м1э)-Е*(1/R_1м2э-1/R_2м2э);

Если мы поменяем места электродов и диполя, то электроды отведения при новом расположении примут сигнал:

U_1м2м=Е*(1/R_1э1м-1/R_2э1м)-Е*(1/R_2м1э-1/R_2э2м));

Мы получили тождественно совпадающие выражения (для проверки достаточно раскрыть скобки и учесть, что R_1э1м=R_1м1э и т.д.): т.е. при смене электродов и зарядов коэффициент передачи не изменился.

Принцип взаимности может использоваться для нахождения потенциала на поверхности тела от внутреннего источника. Действительно, с учетом допустимости изменения ρ среды внутри любого русла тока, поле от поверхностных электродов точно рассчитывается по простым формулам изотропного пространства при наличии границы тело - воздух. Следовательно возможно достаточно точно рассчитать коэффициент передачи от внутреннего диполя к электродному отведению.

Приложение 2.

Вывод формулы Эйлера е^iХ= cosX+isinX.

е — это число равное 2,718281828.. π - так же число: π =3.14.

"i" это "мистическое" число, квадрат которого равен -1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА связывает эти числа.

Теорема: е ^{π i} = -1.

1. При доказательстве мы будем ис­пользовать бином Ньютона: (a+b)ⁿ=aⁿ+C¹_na^n-1b+C²_na^n-2b²+C³_na^n-3b³+…bⁿ , где n - натуральное число, С^k_n=n!/k!(n-k)!.

2. Как известно е= Lim ( 1 + 1/n)ⁿ, где n стремится к бесконечности. Применим к этому выражению формулу бинома Ньютона: ( 1 + 1/n)ⁿ=1+ n/1!_*1/n+ n(n-1)/2!_*1/n²+ n(n-1)(n-2)/3!_*1/n³+…

(здесь знак "_* "- умножение и мы выписали только первые члены раз­ложения). Перейдём в обеих частях равенства к пределу устремив n к бесконечности и получим следующее разложение в ряд:

e=1+1/1!+1/2!+1/3!+… .

Aналогично получим следующее разложение:

e^x=lim(1+x/n)ⁿ=1+x+x²/2!+x³/3!+…

Это разложение впервые было получено Эйлером, и в его честь введена буква е - первая буква фамилии Еulег.

Функция е^х обладает многими замечательными свой­ствами. В частности, все её производные в точке 0 равны 1.

3. Далее воспользуемся формулой Тейлора:

f(x)= f(0)+x*f^!(0)/1!+x²*f^!!(0)/2!+x³*f^!!!(0)/3!...

чтобы разложить в ряд функции sinx и cosx.

Поскольку (sinx)^! =cosx, а (cosx)^!= -sinx, то получаем:

sinX=X-X3/3!+X5/5!-…(-1)ⁿ*X²ⁿ⁺¹/(2n+1)! и

cosX=1-X²/2!+ X⁴/4!-... .

4. Гениальная идея Эйлера состоит в том, что фор­мулу для е^х можно применять не только к действительным, но и к комплексным числам:

e^z=1+z+z²/2!+z³/3!+z⁴/4!+z⁵/5!+…

где z — произвольное комплексное число. Подставим в эту формулу z= πi (где i — мнимая единица, т.е. i²=-1):

е ^πi=1+ πi+( πi)²/2!+ (πi)³/3!+…

=1+i π - π ²/2!- iπ ³/3!+ π⁴/4!+i π ⁵/5!-…

=(1- π ²/2!+ π ⁴/4!-…)+i(π - π ³/3!+ π ⁵/5!-…)=

= cosπ +isinπ = -1.

Теорема доказана. А вместе с ней и формула Эйлера, на которую опирается вся электротехника и радиотехника: е^iХ= cosX+isinX.

Можно очень многое сказать о Лео­нарде Эйлере (1707-1783) — гениальном математике, физике, механике и астрономе, прожившем значительную часть своей жизни в России и похороненном в Санкт-Петербурге.

Леонард Эйлер — один из величайших тружеников в исто­рии науки. Ему принадлежит 865 исследований по самым раз­нообразным проблемам. Все учёные, совре­менники Эйлера, делились с ним плодами своих размышлений, просили высказать своё суждение по интересующим их про­блемам и всегда находили отклик. Переписка Эйлера занимает свыше 3000 писем.

Душевная красота Эйлера отразилась во множестве его поступков. Молодой Лагранж посвятил Эйлера в свои иссле­дования, Эйлер направил ему письмо со словами:

«Твоё аналитическое решение про­блемы содержит всё, что можно желать в этой области. Важность вопроса побудила меня к тому, что я с помощью твоего осве­щения сам вывел аналитическое решение; однако, решил скрывать это, пока ты не опубликуешь свои результаты, так как я никоим обра зом не хочу отнимать часть заслуженной тобою славы» (Лагранжу было тогда 23 года).

Из книги В.М. Тихомирова "Великие математики прошлого" М 1999г. Центр математического образования.