8.3.5 Метод функции правдоподобия. Проблема априорной недостаточности

Использование апостериорной вероятности по методу Байеса очень привлекательно законченностью суждений. Знание вероятностей позволяет осмысленно оценивать риски, потери. Однако есть два принципиальных затруднения при использовании метода Байеса. Во первых оцениваемый параметр (задержку τ) лишь условно можно считать случайной величиной. Как правило параметр постоянен во время измерительных процедур. Поэтому использованное понятие "обратная вероятность" p(τ/y) или p_y(τ) не является плотностью вероятностей. В начале прошлого века Р. Фишер дал ей особое название: "Функция правдоподобия L_y(τ)". Соответственно метод оценки неиз­вестных параметров получил название "Метод максимума функции правдоподобия - МФП". Точечная оценка МФП находится в точке максимума L_y(τ). Получаемая оценка эффективна (т.е. имеет минимально возможную дисперсию) и не имеет смещения. Метод МФП математически безупречен.

Вторым затруднением при использовании более привлекательного для построения логических выводов Байесовского метода является отсутствие данных об априорном распределении р_А(τ). Если мы примем априорное распределение оцениваемой функции равновероятным, равномерным, то МФП и метод Байеса внешне совпадают.

В медицинской практике, имеющей тысячелетнюю историю, априорные распределения можно считать известными. Если область существования параметра хорошо известна и исключает интервалы нулевой апостериорной вероятности, а начальное знание параметра достаточно неопределенно, то р_А размыто и слабо влияет на значение и точность апостериорных оценок. В этом случае можно предполагать распределение р_А равномерным, даже если истинная функция р_А неизвестна.

Метод максимума функции правдоподобия обобщает очень интересное свойство: если мы имеем ряд функций плотностей вероятностей и соответствующий ряд выборок из генеральных совокупностей, принадлежащих этим распределениям, то при подстановке выборок в закон распределения этих выборок максимум достигается для выборки принадлежащей "своему" распределению плотности вероятностей. Это утверждение легко проверяется для Гауссова и равномерного законов распределений, если считать изменяемым параметром распределений его среднее.

8.4. Фильтрация Калмана - Бьюиси

Для оценки параметров траектории спутников требовалась высокая точность. В начале 60х годов 20 века на ЭВМ приходилось обсчитывать большие реализации вектора сигнала - размерностью в тысячи отсчетов и более. Этого требует метод МФП, причем полный обсчет всего массива должен проводиться за время до нового поступления данных. С такой загрузкой ЭВМ не справлялись. Бьюиси и Калман практически одновременно предложили процедуру, которая существенно упрощала требования к ЭВМ при малых потерях потенциальной точности. Сегодня похожая ситуация возникает при обсчете суточных записей ЭКГ при холтеровском мониторировании.

Для уяснения метода Калмана - Бьюиси требуется знание: 1) описанной выше процедуры оптимального точечного оценивания,

2) понятия экстраполяции значений функции (предсказания) на шаг и

3) процедуры обьединения неравноточных измерений с целью уменьшения дисперсии ошибок.

Нахождение точечных оценок подробно описано выше (см 8.3). Экстраполяция может обеспечиваться методом построения наименее уклоняющегося полинома и продолжением этого полинома на шаг к следующему отсчету. Остановимся на последней процедуре обьединения оценок.

П усть мы имеем две группы отсчетов при измерении одного и того же параметра τ . Они дали оценки и с дисперсиями ошибок σ²₁ и σ²₂. Обьединение этих оценок позволяет улучшить общую точность. Новое значение дисперсии будет: σ²_Σ= , а совместная оценка определяется формулой:

Нетрудно проверить, что

1) при σ²₁= σ²₂ и σ²_Σ=1/2σ²_1,2 ,

2) при σ²₁>> σ²₂ . Эти результаты интуитивно понятны.

Предположим, что для получения необходимой точности требуется использовать N отсчетов вектора сигнала . По методу МФП получаем оценку . Для каждого нового поступления отсчетов необходимо заново находить оценку . Возьмем малую группу n (n<<N) значений вектора сигнала. Тогда для этой группы получаемая оценка будет очень грубой (оценка ₁). Но таких оценок мы можем иметь много на полном массиве N. Совместная их обработка позволяет улучшать точность суммарной оценки до желаемого уровня.

В этом случае за каждый шаг в реальном времени на ЭВМ обрабатывается всего n << N отсчетов сигнала (см рис 8.5). Дополнительно требуется проводить описанные выше простейшие операции обьединения оценок. Калман и Бьюиси показали, что при использовании подобной процедуры потери точности по отношению к строгому алгоритму МФП не велики, а загрузка ЭВМ снижается примерно в N/n раз.

Фактически мы переводим усредняющую процедуру из пространства сигналов в пространство оценок. В пространстве сигналов наши усеченные оценки еще недостаточно точны, но уже достаточно отсеяны от возможных ошибок неоднозначности. Усреднение в пространстве оценок эквивалентно пропусканию оценок через фильтр, параметры которого обеспечивают получение требуемого уточнения (при использовании рекурсивных алгоритмов такой фильтр достаточно прост). Таким образом фильтр Калмана-Бьюиси -это структурный фильтр, совмещающий процедуру нахождения грубых (первичных) оценок в пространстве сигналов с последующим повышением точности усреднением в пространстве оценок.

Важнейшим моментом указанных процедур является сходимость алгоритма. Дело в том, что в начальный момент в пространстве оценок мы не знаем значений определяемых параметров и для работы фильтров "второго эшелона" задаем их произвольно или очень грубо. Для малых n велика вероятность аномальных ошибок. Поэтому в целом фильтр Калмана-Бьюиси может иметь сбои, аномальное поведение. Проверка сходимости алгоритма должна гарантировать устойчивую работу в конкретных условиях.

При использовании простейшего рекурсивного фильтра в структуре Калмана уравнение фильтрации может быть записано словами: "сумма полученной на предыдущем шаге оценки с весом (N-1)/N с текущей грубой оценкой следующего шага с весом 1/N равна новой уточненной оценке". В медицинских приборах фильтр Калмана-Бьюиси используется при обработке больших массивов RR интервалов в суточных записях для обнаружении трендов.

Фильтр RR интервалов фильтр описывается уравнением:

Оно дает значение оценки RR в новой точке n+1. Установившаяся дисперсия оценки R_n+1 меньше дисперсии R_n примерно в N раз, однако время сходимости алгоритма больше, чем N тактов. Дополнив алгоритм процедурой сравнения R^_n+1 и R_n легко реализуется процедура обнаружения нарушений ритма.