7.15. Экстраполяция

В отличие от интерполяции процедура экстраполяции позволяет продлить значения функции вне заданного интервала, произвести предсказание значения функции во внешних точках. Предсказание может осуществляться двумя путями: 1) мы предполагаем, что возможно точное нахождение вида функции на известном отрезке существования с последующим продолжением найденной функции за границы известного интервала и 2) на известном участке получаем оценки производных с использованием полиномиальной усредняющей аппроксимации, далее применяя ряд Тейлора продлеваем функцию вне заданного интервала.

8. Статистические методы

Используемые понятия: Стационарный процесс, эргодический проце. Корреляционная функция и энергетический спектр. Фильтр Винера. Нормальный закон распределения. Вероятность события, плотность вероятности, совместная вероятность, условная вероятность. Формула Байеса. Априорная и апостериорная вероятность. "Обратная" вероятность. Функция правдоподобия. Оценка параметра. Точечная оценка. Сигнальная и шумовая функции. Потенциальная точность оценки. Интервальная оценка. Доверительный интервал. Аномальные ошибки. Фильтрация Калмана. Персептрон Розенблата.

8.1 Мир случайных сигналов. Многие события контролируются нами, мы прослеживаем в них причинную связь и даже управляем ими. Многие события нами не контролируемы, они для нас случайны, причинная связь скрыта. Однако мы можем определять частоту появления случайных событий. Если окружающие условия стабильны, то стабильна и частота появления этих событий. В этом случае последовательность случайных событий называется стационарной. И обратно: если частота появления событий стабильна, то неизменны и окружающие процессы, порождающие наблюдаемый процесс.

Частота появления событий нормированная к общему числу испытаний отождествляется с вероятностью события. В быту вероятность интуитивно оценивается, как напряженность ожидания. Математики формально вводят пространство вероятностей связанное с пространством событий. Теория вероятностей изучает закономерности мира случаев. Из теории вероятностей выделилось направление математической статистики, изучающее методы формирования суждений по результатам практических наблюдений. Далее мы рассмотрим 1) вопросы оптимального выделения наблюдаемого сигнала в случайных шумах и помехах, 2) нахождение оптимальных методов измерения и оценки параметров наблюдаемых сигналов, 3) отыскание решающих правил формирования диагностических заключений и оценки их надежности.

Все биосигналы в большей или меньшей мере маскируются тепловым шумом и помехами. Основными характеристиками шума являются закон распределения вероятности его амплитуды и энергетический спектр (Фурье преобразование от корреляционной функции). Чаще всего мы имеем дело с гауссовым (нормальным) законом распределения:

Р(х)=(1/ σ)ехр(-х²/2σ²).

Если х_i – вектор независимых отсчетов шума, то совместное распределение Р(Хi)=П(Произведение) Р(х_i).

Спектр шумов обычно равномерный - это белый, не коррелированный шум (считают, что его спектр ограничен произвольно высокой частотой w). Полная мощность шума равна σ², а удельная мощность шума на единицу полосы частот - N_o =σ²/w. Если используется теорема Котельникова для точечного представления шума, то N₀ является средней энергией одного дискрета.

Обычно мы имеем дело с белым шумом, прошедшим разные фильтрующие системы. Получается цветной шум. Часто шум является результатом случайного сложения многих импульсов. Импульсы характеризуются своей формой (спектром), и вероятностью распределения интервалов появления. В случае суммирования с перекрытием закон распределения амплитуды суммы быстро стремится к гаусовому, нормальному. На практике для этого достаточно трехкратного перекрытия. Но спектр от суммирования не изменяется, поэтому знание спектра шумов позволяет судить о форме исходных импульсов.