Приложение 4

Вывод формулы Найквиста.

Вывод формулы Найквиста настолько красив, что его нельзя не привести.

Пусть мы имеем идеальную двухпроводную линию без потерь длиной L и волновым сопротивлением W=R. Эта линия нагружена с двух сторон резисторами величиной R каждое, как показано на рис 3.2.13. Таким образом линия согласована. Если напряжение ЭДС шума каждого резистора e, то каждый резистор отдает в нашу линию (и поглощает из нее) мощность е²/4R. Очевидно эта мощность пробегает (распространяется) вдоль линии W. Одновременно мысленно замкнем линию с двух сторон (замкнем наши сопротивления). Распространявшаяся в ней мощность будет замкнута. Наша линии без потерь и мощность никуда не денется, останется в виде стоячих волн. Таким образом мощность е²/4R равномерно распределится по всем частотам стоячих волн (или по всем степеням свободы колебаний) линии W. На каждую степень свободы придется энергия кТ. Энергия равна произведению мощности на время ее действия. У нашей линии длина L произвольна, она определяет время пробега t_п = СL, где С - скорость света. Каждая степень свободы имеет колебания с полосой частот одной моды стоячей волны dF = 1/t_п=1/СL). Таким образом мощность на одну степень свободы: kT/t_п = кТdF= е²/4R, откуда е²=4кТRΔF. Это и есть формула Найквиста.

Приложение 5

5.1 Проверка гипотез

Пусть мы зарегистрировали реализацию u(t) (или приняли вектор u_n→) параметров обследования. Считаем, что принятой реализации соответствует набор признаков S₁. Приняли решение. Правильно ли наше утверждение? Мы знаем, что возможны S₂ и другие. Будем считать, что получение каждого параметра сопровождалось маскирующими нарушениями с известными статистическими характеристиками. Тогда можно записать вероятность появления реализации u_n→ для двух случаев: когда u_n→/S₁ и соответствует принятой гипотезе Н_S1 или когда соответствует конкурирующей гипотезе Н_S2.

Для каждой гипотезы вероятность появления реализации u_n→ записывается как условная вероятность: р(u_n/S₁) или р(u_n/S₂). Однако нас интересует не апостериорная вероятность реализации р(u_n/S), а "обратная" вероятность появления признаков р(S_i/u_n), i=1,2. Мы хотим удостовериться, каким был набор признаков S в полученной совокупности признаков u_n→.

Обратная вероятность находится из правила умножения вероятностей (Бейес):

Будем считать известными априорные вероятности р_а(S₁) и р_а(S₂). Тогда апостериорные вероятности р(S_i/u_n) найдены и задача решена. Мы можем сказать: "с такой то вероятностью правильна гипотеза Н_S1. Зная последствия ошибок, можно сказать, допустима ли такая вероятность.

О бычно мы оперируем не с вероятностями, а с их плотностями. Для перехода к вероятностям надо на графике плотностей указать области, в которых нам необходимо определить вероятность. Например, как показано на рис 8.6. По оси абцис располагаются принятые реализации u_n→, по оси ординат плотности вероятностей для разных ризнаков S₁ и S₂. Далее выделяем по оси абцисс u_n→ площади, которые определят вероятности правильности гипотез Н_S1 и Н_S2. Выделение площадей (областей) осуществляется указанием их границ. В нашем случае граница обозначена точкой П (Порог). Выделенная вероятность Р(S₂/u_n) соответствует утверждению об отсутствии набора признаков и равна отсекаемой площади на области от границы до бесконечности, вероятность Р(S₁/u_n) в той же области - утверждению о наличии набора.

Решающее правило

Указание вероятностей событий дает полные основания для принятия решения. Выше мы описали следующее решающее правило: если вектор u_n→ попал в область, находящуюся правее точки П до бесконечности, то принимаем решение, что сигнал S₁ присутствует. Этому решению соответствует вероятность правильного утверждения Р(S₁/u_n) и вероятность ошибочного Р(S₂/u_n). В случае попадания u_n→ в область, находящуюся левее точки П (Порог) до минус бесконечности- принимаем решение об отсутствии сигнала S₁ (присутствует S₂) с вероятностью правильного утверждения Р(S₂/u_n) и вероятностью ошибочного Р(S₁/u_n)- пропуск сигнала. Сформированное решающее правило: пространство существования принимаемых реализаций u_n→ делится на области (устанавливаемые границей П), в каждой области приписывается ее сигнал (у нас S₁ или S₂). При попадании u_n→ в область принимается соответствующее решение. Каждому решению соответствуют вероятности правильного и ошибочного решения. В нашем случае это вероятности ложного обнаружения S₁ - ложная тревога и пропуска S₁. Изменение границ областей изменяют эти вероятности, мы устанавливаем границы с учетом возможных неприятностей (потерь) от ошибок (частоты появления ошибок).

В технической реализации оказалось удобным другое решающее правило: сохраняем прежней ось ординат, а по оси абцисс откладываем отношение плотностей апостериорных вероятностей. Это отношение представляет монотонную кривую в пределах от 0 до +оо. Рассмотренное выше разбиение на области с выделением границы соответствует установке порогового значения П на этой кривой, выше и ниже которого располагаются выделенные области принятия решений. В этом случае решающее правило для каждой принятой реализации u_n→ включает процедуру нахождения отношения апостериорных вероятностей и сравнения результата с заранее выбранным порогом. При превышении порога утверждается гипотеза Н_S1, при отсутствии превышения - Н_S2. Величина порога однозначно связана с разбиением пространства сигналов и вероятностями правильного и ошибочного решения.

Нам нужен только факт пересечения порога, следовательно с полученной функцией отношения апостериорных вероятностей мы можем производить любые монотонные преобразования (обычно используют взятие логарифма).

Каждый шаг в последовательности наблюдения и преобразований сигналов удобно выделять как переход в самостоятельное пространство. Для наших преобразований такие пространства представлены в таблице 1.

Таблица 1

Пространство Событий Si	Описание событий Системы параметров событий	Пространство априорных вероятностей событий ра(Si)
Пространство Сигналов и шумов un→	Описание сигналов Системы параметров сигналов.	Пространство априорных вероятностей шумов р(un/S)
Пространство преобразованных сигналов для удобства суждений	Преобразованные функции, моделирующие сигналы. Подбор решающего правила.	Пространство апостериорных вероятностей выделенных сигналов Р(Si/un)
Пространство решений по результатам наблюдения	Описание решений Введение цены или потерь решений.	Пространство вероятностей ошибок решений
Воздействие на пространство событий.	Изменение параметров или описания сигналов.	Изменения в пространствах вероятностей.

(априорное - до опыта, до эксперимента. Апостериорное - с учетом результатов опыта, эксперимента).