7. Математические методы обработки биосигналов

Основные понятия: Аналитическая функция. Ряды Тейлора. Метод Гаусса. Наименее уклоняющаяся функция в смысле минимума среднего квадрата. Ряды Фурье. Спектр сигнала. Системы базисных рядов. Норма функции. Ортонормированные ряды. Взаимная корреляция, проекция функции. Расстояние между функциями. Полиномы Лежандра, Лагерра, Эрмита, Чебышева.

Интеграл Фурье. Спектральная плотность. Интегральное преобразование с ядром Ф(gt). Свертка функций. Функции с ограниченным спектром. Теорема отсчетов Котельникова как разложение Фурье.

Векторное представление сигнала. Скалярное умножение векторов. Матрицы преобразования, Связь с интегральными формами.

δ-функция, функция единичного скачка, отклик фильтра. Весовая функция фильтра. Связь отклика с частотной характеристикой фильтра.

Интерполяция, аппроксимация, усредняющая интерполяция, аппроксимация на скользящем интервале, связь с фильтрацией.

Реальный мир полон событий и процессов. События порождают сигналы, они доступны нашим ощущениям непосредственно и через приборы. Слово сигнал мы понимаем в широком смысле: это регистрируемый электрический потенциал, изображения, обьемные осязания, набор табличных значений, графиков (на расстоянии сигналы передаются сообщениями). Наблюдая сигналы мы или открываем что то неожиданное, незнакомое, или получаем информацию о предполагаемом, но в данный момент неопределенном событии. В первом случае это открытие, во втором диагностика, получение информации. Информация есть мера улучшения нашего знания об интересующих событиях

Производя преобразования/обработку мы приводим сигналы к удобному для нас виду, затем делаем измерения и, наконец, формируем наши суждения. Преобразования обычно проводятся в три этапа:

1)Усиление/масштабирование и предварительная фильтрация, а так же простейшие нелинейные преобразования.

2)Усиленные сигналы, графики и таблицы наблюдений подменяются удобными для математических описаний функциями и

3) уже в мире выбранных математических функций производятся преобразования к виду, удобному для анализа и осмыслива­ния. Второй и третий этап проводится с использованием ЭВМ.

7.1. Удобными считаются аналитические функции

Функцией f называется правило отображения точек х из пространства Х в точки у пространства У. Типовое обозначение функции: у = f(х). Функция может записываться в виде таблицы соответствия, в виде графика (координаты Х называются осью абцисс, У - ординат) или в виде аналитической формулы. Среди безграничного множества функций мы используем очень небольшое их число, те, которые записываются уравнениями в явном виде: у = f(х). Обычно мы предполагаем, что это аналитические функции. Аналитической функцией называется функция, имеющая производные любого порядка в каждой точке Х=Х_i (точнее в ее окрестности). Как следствие, аналитическая функция может быть представлена рядом Тейлора в любой точке Х₀:

.

Верхними штрихами обозначены производные, а  есть приращение по х. Разложение Тейлора отображает удивительное свой­ство: поведение функции в малой окрестности точки Х₀ определяет вид функции на всем интервале существования! Много ли Вы знаете таких предсказателей? В преобразовании Котельникова мы имеем аналог этого свойства: счетное множество отсчетов функции точно отображает непрерывное ее поведение на всем интервале существования.

Из всех аналитических функций мы будем использовать функции с суммируемым квадратом, т.е.

.

У таких функций можно:

1) выделить норму : .

Функция поделенная на свою норму называется нормированной.

2) Ввести понятие скалярного произведения двух функций:

Если скалярное произведение функций (f_*Ψ) равно нулю, то функции считаются ортогональными. Скалярное произведение может быть интерпретировано как проекция одной функции на другую функцию. Как следствие возникает воображаемое пространство векторов и можно ввести угол между функциями:

Скалярное произведение так же может рассматриваться как взаимная корреляция функций.

3) Очень важным является понятие расстояния R между функциями:

и

4)В пространстве, где введено понятие расстояние длина вектора функции равна норме:

Для ортонормированных функций длина равна 1, квадрат расстояния равен 2, а угол равен 90⁰.

Так вводится векторное пространство функций, в котором определены понятия расстояния, длинны вектора, углов и проекций вектора на вектор. Это пространство называется метрическим.

Как было замечено ранее, реальные сигналы мы подменяем более или менее удобными функциями. Наиболее часто встречающиеся "удобные" функции представлены на рис 7.1. Это степенные полиномы, синусоиды, экспоненты, гиперболы. В преобразованиях сигналов удобна для применения δ - функция (впервые введена Дираком). Она всюду равна нулю кроме точки х=0 - в этой точке она устремляется к бесконечности. Функция подбирается так, что бы интеграл

.

П римером использования δ - функция является выделение значения непрерывной функции Ф(х) в точке х_о: .

Что бы сохранить свойства аналитической функции для δ - функции, ее изображают как предельный переход некой заранее известной аналитической функции, например:

, ν 0.

Возможны другие представления δ - функции: , ν 0 или , ν 0 и т.д.

Важной функцией является функция единичного скачка. Она определяется как интеграл от δ - функции с переменным верхним пределом: скачек . Вычитание одного скачка из другого, сдвинутого по оси абцис, формирует прямоугольный импульс.

Кроме того следует помнить важнейшую формулу Эйлера: exp(jώt)=cosώt+jsinώt.

7.3. Метод Гаусса подмены функций

Гаусс Карл Фридрих 1777- 1855. Сын слесаря. В 25 лет профессор Гетингенского университета и Директор астрономической лаборатории. Главные работы: доказал основную теорему алгебры о наличии хотя бы одного решения уравнений, работы по теории чисел, теории вероятности (всем известный Гауссов закон распределения), сходимости бесконечных рядов, теории потенциала. Известность получил после опубликования метода расчета орбит планет по трем измерениям (1802г). В 1809г выпустил книгу "Теория движения небесных тел". 1821-23гг предложил метод наименьших квадратов для обработки измерений в астрономии и геодезии. Разработал систему электромагнитных единиц (СГС). С 1822г проф С. Петербургской Академии. В 1833 совместно с Вебером построил первый в Германии телеграф.

Экспериментальную функцию целесообразно так подменять аналитической, что бы взаимное отклонение было наименьшим. Так как ошибки отклонения могут иметь разные знаки, то мера отклонения определяется как суммарный (или интегральный) квадрат взаимного отклонения. Это отклонение минимизируется подбором вида и параметров выбранной аналитической функции. Первоначально метод использовался в теории измерений, сегодня и в теории оптимальной фильтрации и при распознавании образов (а следовательно имеет отношение и к процедурам формирования диагностических заключений являющихся частью теории распознавания образов).

Когда мы имеем много измерений одной и той же координаты, то всем привычно: нахождение среднего улучшает точность. Распространение этого результата на функции в двух и трехмерном пространстве не тривиально. Это сделал Гаусс.

Предположим, что мы имеем набор (i) экспериментально измеренных значений Ф(xi) в точках xi (i=1,2…к) и пытаемся подобрать удобную, заранее нами выбранную функцию f(,a,b,х) c параметрами "а,b". (рис 7.3). Параметры могут быть значениями сдвигов, масштабных коэффициентов и др. Они подлежат подбору для обеспечения минимального отклонения f(,a,b,х) от Ф(xi). "а,b"

Представим сумму квадратов ошибок измеренных значений нашей функции в виде:

Будем изменять параметры "а,б" до достижения минимума суммы квадратов ошибок. В этой точке значения "а,б" называются оценками. Их обозначают: а^, б^. Для нахождения оценок представленную систему уравнений необходимо дифференцировать по "а" и "б", результаты приравнять нулю:

,

Полученные после дифференцирования уравнения называется "нормальными". Их решение дает значения оценок а^ и б^. Так возникло и победно шествует понятие наименее уклоняющейся кривой, наименее уклоняющейся функции. Обычно этим завершается первый этап - этап замены экспериментальных графиков близкими и удобными функциями для дальнейших преобразований. Хотя возможны и другие "эвристические" методы подмены.

Качество подмены определяется суммарным квадратом остаточных ошибок (невязкой) при найденных оптимальных значениях (оценках) а^, б^:

Можно подменять функцией не набор экспериментальных отсчетов, а полученный экспериментально график. Тогда минимизации подлежит не сумма квадратов разностей, а интеграл квадрата разности, но сама процедура остается без изменений. Невязка Q будет иметь вид: