7.13. Фильтрация

Фильтрация как метод возникла в период становления телеграфии и телефонии 150 лет назад, далее в прошлом веке получила развитие в радиосвязи и радиолокации. С точки зрения преобразования Фурье это выделение одних составляющих спектра и подавление, устранение других. Так восстановление гладкой функции из отсчетов есть лишь устранение всех высших составляющих решетчатого спектра последовательности отсчетов, т.е. фильтрация.

7.14 . Интерполяция

1) Заполнение разрывов между отсчетными точками графиков с сохранением значений функций в этих точках. Пусть реальные данные наблюдения заданы таблично в виде набора точек. Интерполяция - это проведение плавной кривой через заданные точки - заполнение промежутков непрерывным графиком. Если точки графика расположены равномерно по оси Х, то интерполяцию можно рассматривать как обратное преобразование Котельникова - Уиттакера. В каждой точке графика воспроизводим интерполирующую функцию - импульс типа sinx/x с амплитудой А_i и в результате получаем непрерывный график. Однако функция sinx/x неудобна, она не ограничена по оси Х. Для интерполяции чаще используют ограниченные по оси Х прямоугольные или треугольные импульсы, как показано на рис 7.12. Импульсы можно рассматривать как отклики соответствующих фильтров, поэтому такая интерполяция идентична фильтрации. Исходный линейчатый спектр превращается в низкочастотный сплошной.

2) Интерполяция параболическим многочленом с сохранением значений функций в точках. Вместо функции типа sinX/X используется набор полиномов, проходящий через все заданные точки табличной функции. Всегда существует только один полином G_n(x), обеспечивающий решение поставленной задачи. По методу Лагранжа его коэффициенты имеют вид:

G_n(x)=sum(y_iF_i(x), суммирование от i=0 до i=n и

.

у i - заданные значения графика в точках i. Расположение точек xi не обязательно равномерно.

Соединяются сразу все точки графика. Для большого числа точек такая задача очень сложна и для упрощения применяют кусочную интерполяцию со сшиванием значений производных в граничных точках.

Развитием кусочно параболической интерполяции является сплайн аппроксимация. Она отличается тем, что на интерполирующий полином накладываются дополнительные ограничения:

, где f¹¹-вторая производная интерпоирующего полинома. Такой функционал минимизирует мощность колебаний интерполирующего полинома. Степенью сплайн аппроксимации называется степень аппроксимирующего полинома. Наиболее часто применяются сплайны третьего и пятого порядка.

3) Усредняющая интерполяция (аппроксимация по методу Гаусса). Кроме соединяющей интерполяции используется усредняющая, сглаживающая интерполяция (так же называемая аппроксимацией). В этом случае снимается требование, чтобы результирующая кривая проходила через отсчетные узловые точки, но устанавливается требование наименьшего уклонения интерполирующей / аппроксимирующей кривой от исходного множества отсчетов (Опять метод Гаусса). Фактически это задача проведения наименее уклоняющейся кривой, многократно рассмотренная выше.

4) Рассмотрим пример полиномиальной усредняющей интерполяции на интервале. Будем проводить интерполяцию полиномом вида а+бх+сх²+.... В таблице 3 приведены формулы определения оценок для полиномов нулевого, первого и второго порядков.

Таблица 3

Аппроксимирующий полином	Оценки коэффициентов полинома	Остаточный квадрат
У=а
У=а+бх В есовая функция	;
у=а+бх+сх2 В есовая функция - 1 +0,7 -1

Рассмотрение формул упрощается, если помнить, что коэффициенты типа и являются константами, их значения для N =10 приведено в таблице 4.

Формулы таблицы приведены в центрированном виде, т.е. отсчет i идет от средней точки i=0 в плюс и минус i до значения N/2. Общее число точек N+1, N - четное, суммирование по всем (+/_)i. а,б,с -коэффициенты, а^,б^,c^ - их найденные оценки. Отметим, что оценка а^ различна при изменении степени аппроксимирующего полинома (Т.к. мы не использовали ортогонализацию базисных полиномов). Кроме того б^ есть оценка первой производной нашей искомой функции (усредненной на заданном интервале), c^ - второй производной, усредненной на том же интервале. В приведенных формах таблицы 4 для справки вычислены следующие коэффициенты, не зависящие от измерений.

Таблица 4.

С труктура коэффициентов зависит от начального выбора точки отсчета интерполирующего интервала, но не зависит от собственно значений У_i. Фактически мы находим весовые коэффициенты спектральной фильтрации сигнала. Нахождение не центрированных выражений оценок может быть получено заменой х_i на (х_i-d), где d - сдвиг от центра.

Чем выше степень интерполирующего полинома, тем точнее могут выделяться аппроксимацией сложные формы сигнала. Часто выбор степени может устанавливаться на основе априорных сведений. Если этого нет, то возможно оценивать качество аппроксимации по изменению величины остаточной невязки. Если число экспериментальных точек велико, то эффективно сравнение остатка для полиномов степени m и m+1. Когда он почти не меняется при увеличении m, то приближение, даваемое полиномом степени m эффективно. Т.к. аппроксимация и интерполяция включают в себя определенный произвол установления условий, то они несут в себе элементы распознавания образов.

5) Связь интерполяции и фильтрации. Аппроксимация на скользящем интервале. В определенном смысле может быть достаточен кусочно перемещаемый - "прыгающий" интервал на величину окна (или на его часть, например, на половину), однако чаще используется "скользящий" интервал со сдвигом на одну точку. При этом обычно выходным графиком является график коэффициентов а^,б^,с^. Регистрация ряда коэффициентов а^,б^,с^ позволяет одновременно выводить графики среднего на окне, усредненной на окне первой и второй производных. Коэффициенты находятся как взвешенные суммы отсчетов сигнала. При повышении степени полинома график а^ все более точно отображает аппроксимируемую кривую. Интерполяция полиномом на скользящем интервале полностью эквивалентна прохождению сигнала через фильтр с весовыми коэффициентами, определяемыми весовой функцией получения оценок а^б^с^. Сплайн аппроксимация на скользящем интервале так же становится эквивалентом фильтрации с заданной весовой функцией.

Важно отметить, что при любой аппроксимации с ограничением числа членов базисного ряда могут теряться морфологически важные (информационные) фрагменты, т.к. любое сглаживание уничтожает короткие отклонения графиков. Полное разложение Фурье не пропускает, не искажает сигнал, но и не фильтрует, просто переводит экспериментальные данные к их спектральному отображению. Экспериментатору решать, что удобнее рассматривать, спектры или временные графики, с какой степенью их усреднять.