7.4. Преобразование Фурье

Качество совмещения экспериментальной функции с выбранной нами заменой может оказаться очень плохой, с большой невязкой Q. Тогда можно предположить, что экспериментальная функция является отображением не одной, а набора, суммы различных функций. Этот набор функций принято называть базисным рядом, причем каждая функция базисного ряда может иметь свои параметры оптимизации.

Ж.Б. Фурье предложил в качестве базисного ряда использовать набор синусоид с кратными частотами. Он показал, что при увеличении числа членов базисного ряда подмена исходной функции происходит уже не приближенно, а точно. Более того, у кратных синусоид базисного ряда имеется замечательное свойство: они ортогональны. Как следствие, нахождение, оценка параметров одной составляющей базисного ряда никак не влияет на нахождение остальных: ортогональность позволяет независимо находить оценки параметров каждого члена базисного ряда.

 Фурье Жан Батист Жозеф (1768-1830), французский математик, член Парижской АН (1817). Окончил военную школу. Первые труды относятся к 1796г. В 1807 он представил Парижской АН свои открытия в теории теплопроводности, в 1822 издал книгу «Аналитическая теория тепла», В основе его методов лежало представление функций тригонометрическими рядами, с тех пор такие ряды называются рядами Фурье.

Сегодня набор кратных синусоид называется базисным рядом Фурье. А разложение - преобразованием Фурье

Пусть функция f(t) задана на интервале Т. Мы можем считать ее периодической, если повторим ее вне этого интервала с тем же периодом. Преобразование Фурье на интервале Т есть разложение в ряд по функциям sin(i2π/Т)t, i=1,2,3.... Каждый член разложения Фурье находится как наименее уклоняющаяся синусоида от функции Ф(t), т.е. используется метод Гаусса. Процесс разложения может интерпретироваться как нахождение проекций функции Ф(t) на систему базисных векторов.

Т.к. форма каждого члена базисного ряда заранее известна, то информативны только параметры члена ряда, например амплитуда и фаза синусоиды. Распределение найденных амплитуд (коэффициентов) разложения называется спектром. В зависимости от формы представления базисного ряда используются три формы разложения и спектральных коэффициентов:

Спектральные коэффициенты а,б,А,φ,С находятся из уравнений, знакомых из определения проекций функций:

, , . Связь между коэффициентами определяется соотношениями: , φ- фаза синусоиды, C_i=1/2(a_i-jb_i), i -номер гармоники разложения i=1,2,3...., ω=1/Т-частота первой гармоники разложения на интервале периодичности Т.

Соответствие функции и ее спектра коротко обозначается: f(t) с(i ω), т.е. функция Ф(t) имеет спектр с(i ω), i=1,2,3.....

Преобразование утверждает, что функция Ф(t) и сумма синусоид с подобранными спектральными коэффициентами совпадают по форме. Это значит, что преобразование обратимо. Имея спектр мы можем получить точное выражение исходной функции методом обратного преобразования Фурье (т.е. суммированием спектральных синусоид с известными спектральными амплитудами). Таким образом без потери информации вместо Ф(t) мы можем рассматривать график спектра с(iω) или выбирать тот вид представления, который удобен.

Преобразование переводит нас из пространства времени в пространство спектров. В пространстве времени нет понятия спектра, в пространстве спектров нет понятия времени. Операции умножения двух функций в пространстве спектров называются фильтрацией (изменение формы спектра). В пространстве времени операции умножения называются модуляцией или гетеродинированием.

П ри взятии производной функции ее спектр, умножается на jω. Поэтому преобразование Фурье приводят решение дифференциальных уравнений к алгебраическим. Таким образом преобразование Фурье является мощным средством решения дифференциальных уравнений (именно это свойство привлекло Фурье). На рис 7.4 представлены спектры некоторых периодических сигналов.