Приложение 3.

Потенциал двойного электрического слоя (ДЗС)

И.Е. Тамм Основы теории электричества. ОГИЗ Гос. Изд. Технико-теоретической литературы. Москва 1948 Ленинград.

$14 стр 72 - 75

1. Пусть две весьма близкие и параллельные друг другу поверх­ности S и S' (рис. 20) заряжены электричеством противоположного знака, и притом так, что плотности зарядов σ и σ' на противолежащих элементах обеих поверхностей равны по величине и противоположны по знаку (σ = - σ'); положим для определённости, что σ >0. Если расстояние между S и S' исчезающе мало по сравнению с расстоя­нием этих поверхностей до рассматриваемых точек поля, то совокуп­ность поверхностей S и S' называется двойным зарядовым слоем (ДЗС). Потенциал этого слоя в некоторой точке поля Р, согласно (12.11), будет равен:

где R и R' суть соответственно расстояния точки Р от элемента dS положительно заряженной поверхности S и от противолежащего ему элемента отрицательной поверхности S'. Но (1/R-1/R') есть приращение численной величины радиуса-вектора R, проведённого от рассматриваемого элемента ДЗС в точку P, при перемещении начальной точки вектора от отрицательной поверхности к положительной. Пусть n есть направление нормали к двойному слою, направленной от отрица­тельной его стороны к положительной, и пусть λ - толщина слоя (расстояние между S и S'). Повто­ряя рассуждения, приведшие нас в § 8 к формуле(8.11), убедимся, что при λ <<R

Подставив это в предшестивующее уравнение и вводя обозначение τ = σλ получим:

Таково окончательное выражение потенциала ДЗС, в кото­ром предполагается, что радиус-вектор R проведён от слоя в иссле­дуемую точку поля P. Величина τ, равная произведению плотности заряда поверхности слоя на толщину слоя, называется мощностью или моментом слоя.

2. На основании (10*) подинтегральное выражение в формуле (14.2) можно представить в виде:

С другой стороны, согласно (3.2)

г де dΩ - тот телесный угол, под которым элемент ДЗС ви­ден из точки Р. Что же касается знака, то в рассма­триваемом слу­чае, R считается направлением от элемента dS k точке P, стало быть, соз (R,n) будет положительным, если из точки Р видна положительная сторона элемента двой­ного слоя dS, и отри­цательным в обратном случае (ибо n направлено по условию от отри­цательной к положительной поверхности слоя). Условимся считать телесный угол dΩ положительным, если из Р видна по­ло­жительная сторона элемента dS, и отрицательным в обратном случае. Тогда уравнение (14.2) можно будет записать проще:

( 14.3)

3. Если мощность слоя τ постоянна на всём его протяжении - такой слой называется однородным, то потенциал его φ принимает вид:

( 14.4)

где под Ω нужно понимать алгебраическую сумму телесных углов, под которыми видны элементы поверхности ДЗС из точки Р. Если все эти элементы поверхности видны из Р с одной и той же, на­пример положительной, стороны, то абсолютная величина Ω равна тому телесному углу, под которым виден из Р весь двойной слой, или, что то же самое, под которым из Р виден контур этого слоя. Содержание уравнения (14.4) можно выразить следующим образом: потенциал однородного ДЗС в точке Р равен произведению мощности слоя τ на взятый с надлежащим знаком телесный угол Ω, под которым виден из Р контур этого слоя.

4. Особенно просто выражается потенциал замкнутого двойного слоя (например, слоя, расположенного по поверхности сферы). Как было показано в § 3, всякая замкнутая поверхность видна под углом ±4П из всех точек, лежащих внутри этой поверхности, и под углом О из всех внешних точек. Стало быть, потен­циал замкнутого двойного слоя равен нулю во всём внешнем простран­стве и равен ±4πτ во всех точках, охватываемых слоем; знак потен­циала зависит от того, какая сторона слоя (положительная или отри­цательная) обращена внутрь. Таким образом, напряжённость поля замк­нутого слоя равна нулю (ибо gradφ=0); потенциал же поля испы­тывает при прохождении через поверхность слоя скачок 4πτ.