7.8. Векторное представление сигнала.

Выше мы показали, что непрерывные функции могут быть представлены дискретными значениями спектра, например в виде набора отсчетных точек Котельникова. Мы умеем переводить сигнал из пространства времени в пространство спектров. В том и другом представлении не теряя информативности возможно проводить различные преобразования. Для дискретных записей удобны матричные преобразования (изучаемые линейной алгеброй). Напомним соответствие преобразований этих двух форм.

Сигнал или функция в виде последовательности отсчетных значений считается компонентами вектора Х = (х₁,х₂,х₃,). Запись получается очень компактная. В линейной алгебре определены понятия вектор строки и вектор столбца, прямоугольной (и квадратной) матрицы. Преобразование строк матрицы в столбцы (и наоборот) называется транспонированием. Вектор строка есть транспонированный вектор столбец. Определены операции сложения, умножение на число, умножение вектора на вектор скалярное, вектора на матрицу и другие. Умножение двух векторов дает число, операция эквивалентна нахождению взаимной корреляции (или проекции) между функциями - векторами. Умножение вектора - строки на матрицу дает преобразованный вектор, операция эквивалентна фильтрации или интегральной свертке.

Векторные операции имеют эквиваленты в пространстве непрерывных функций и наоборот. По этому выбор интегральных или векторных записей зависит от удобства использования. Для пояснения в таблице 1 приведено соответствие основных интегральных и векторных форм.

Таблица 1. Соответствие аналоговых и векторных форм.

Пространство функций.	Пространство векторов:
	-вектор столбец. Вектор строка: транспонированный вектор столбец х1,х2,х3....=
f(t). Область существования от -Т до +Т.
	* , где - единичный вектор столбец.
	* =|a|2 , где а - число, норма, длина вектора.
	* =σ - число, взаимная корреляция, проекция.
- отклик фильтра.	*|A|= , |A|- матрица преобразования, эквивалент отклика преобразующего фильтра.
	( - )2 квадрат расстояния между векторами.

7.9. Интегральное преобразование Фурье

Ряд Фурье определен на конечном интервале Т. В этом случае мы имеем дискретный (линейчатый) спектр. Для многих функций, например exp(-t) или exp(-x²) интервал существования Т является бесконечным. Разложение в ряд Фурье становится неправомочно или не точно, требует оговорок. Поэтому дискретное преобразование Фурье заменяется интегральным преобразованием. Интегральное преобразование получается пре­дельным переходом при увеличении интервала Т . При этом линейчатые спектральные коэффициенты c(iw) заменяются непрерывной функцией плотности спектра s(w_i):

s(w_i)*2π/Т=c(iw), где 2π/Т - ширина спектрального расстояния между соседними гармониками n2π/Т или

s(w_i)→ c(iw)Т/2π при Т→ .

В результате функция плотности спектра находятся интегральным преобразованием Фурье:

,

Справедливо и обратное:

.

П реобразование переводит нас из пространства времени в пространство спектров и обратно. Как и ранее, интегральное преобразование удобно обозначать значком соответствия " ": т.е. f(t) s(w). Отметим, что 1) периодическая функция после интегрального преобразования Фурье дает решетчатую спектральную плотность с бесконечными значениями на частотах, кратных обратной величине периода функции. Эти бесконечные плотности спектра (в виде δ - функций) соответствуют вполне конечным значениям спектральных коэффициентов ряда Фурье сi.

2) Дифференцирование функции во временном пространстве эквивалентно умножению ее спектра на jw (а интегрирование - на 1/jw). Поэтому с использованием спектральных преобразований решение дифференциальных уравнений переходит в решение алгебраических уравнений.

Обобщенные преобразования Фурье. Преобразование Фурье обобщается на целый тип интегральных преобразований с функцией ядра :

и обратно: .

Для преобразования Фурье =exp(-j2πwt). Для преобразования Лапласа , Преобразование с ядром типа δ- функции выделяет амплитуду функции в заданной точке. Преобразование с ядром 1/(τ-t) связывает две составляющие вектора сигнала для нахождения его огибающей (преобразование Гильберта). Особо выделим ядра с запаздывающим аргументом =u(t-τ). Преобразования с этим ядром называются "сверткой" функций:

или U(t)=f(t) s(t-τ), где операция свертки обозначается значком " " (ранее интегральное преобразование с таким ядром называли интегралом Дюамеля).

Операция свертки дополняет преобразование Фурье. Если есть две функции f(t) s(w), u(t) v(w), и ищется спектр их произведения, то спектр произведения функций имеет вид свертки соответствующих спектров:

f(t) u(t) s(w) v(w), и обратно, спектр свертки функций равен произведению их спектров: f(t) u(t) s(w) v(w).

Так как спектр сигнала на выходе любого фильтра равен произведению частотной характеристики этого фильтра на спектр входного сигнала, то выходное напряжение этого фильтра может быть найдено как свертка входного сигнала и отклика фильтра на δ-импульс:

u(t)-отклик фильтра на δ-импульс.

Действительно, пусть входной сигнал f(t) имеет спектр W(w), а частотная характеристика фильтра обозначена Ф(w). Пусть u(t)- отклик фильтра на δ - импульс. Δ(w)-спектр δ - импульса. Тогда отклик u(t) находится с использованием обратного преобразование Фурье:

По определению спектр δ - импульса равномерен и постоянен для всех w, т.е. Δ(w) константа. С учетом этого находим:

Таким образом преобразование свертки позволяет находить выходное напряжение фильтра зная лишь его отклик. Отклик имеет и другое название: весовая характеристика фильтра. Это очень удобно при цифровой фильтрации. Именно операция свертки лежит в основе цифровой фильтрации.

М ногие преобразования описываются процедурой перемножения функций. Это и гетеродинное преобразование частоты в радио приемниках (умножение сигнала на sin2πwt), и модуляция, и выделение не большого участка из длинного сигнала умножением на прямоугольный импульс 0-1, это и любой выключатель, ключ в схеме: все они являются перемножителями сигнала на функцию скачка 0 - 1. Это и АЦП - аналогово цифровое преобразование. Спектр результата операций перемножения находится сверткой исходных спектров (рис 7.8). Распределение вероятностей одновремен­ного проявления двух событий так же равно свертке исходных распределений вероятностей этих событий.

Интегральные преобразова­ния позволили сделать целый ряд замечательных выводов, например показать связь между частотной и фазовой характеристикой фильтров без указания на конкретные структуры фильтра или дать критерий физической реализуемости фильтра с произвольной частотной характеристикой. Физически реализуемым фильтром будем считать фильтр, отклик которого на δ импульс не начинается ранее самого воздействия δ -импульса. Интегральное условие физической реализуемости фильра Ф(w) имеет вид:

Э тот интеграл должен быть сходящимся (теорема Пели - Винера). Здесь Ф(w)-наша произвольная частотная характеристика, w- частота. Отклик фильтра с частотной характеристикой Ф(w) тождественно равен нулю для t<0.