5.6. Дифференцирующие фильтры

Первая производная цифрового сигнала есть первая разность соседних отсчетов. База фильтра равна 2. Вторая производная формируется разностным уравнением:

d²У(t)/dt²=У_к-1-У_к-(У_к-У_к+1)=У_к-1 - 2У_к+У_к+1), (1)

где У_к-i- отсчет сигнала в точке (к-i), i=-1,0,1. t=t_к. База равна 3.

Процедуру (1) так же можно называть дважды дифференцирующим фильтром (сокращенно 2диф фильтром) с весовой функцией -1,+2,-1 (показана на рис 10). Частотная характеристика 2диф фильтра показана там же. В спектральной области частотная характеристика выглядит как Ф(w)=w² (при области существования w < Fкв/2). Соответственно резко подчеркиваются высокочастотные составляющие шумов. При весовой функции рис 10 (пусть отсчеты независимы) увеличение дисперсии шумов равно 6 для 2 диф фильтра.

Д ля устранения случайных шумовых возмущений используется усредняющая фильтрация (до или после дифференцирования, структура линейна). Взятие производных с одновременным усреднением эквивалентно последовательному включению (комбинации) диф фильтра и фильтра усредняющего. Весовая функция совмещенного фильтра является сверткой весовых функций дифференцирования и усреднения.

Выбор частотной характеристики усредняющего фильтра может быть очень наглядным, если учесть эквивалентность полиномиальной аппроксимации на скользящем интервале и фильтрации. Пусть мы используем усредняющий полином ах²+бх+с на выбранной базе N. Практически мы совмещаем эталонную параболу с зоной изгиба кривой. Нахождение оценок коэффициентов а^, б^, с^ определяется взвешенным суммированием у_i (веса определяют вид весовой функции). В результате оценка с^ дает амплитуду среднего в центре базы, б^ - первой производной, а^ - второй производной. Веса суммирования одновременно являются весами отклика фильтра. Величина базы окна (N) выбирается исходя из ожидаемой морфологической особенности наблюдаемой кривой, например, для комплекса QRS ЭКГ величина окна не должна превышать длительности наиболее короткого импульса (или выбираться для каждого импульса отдельно).

С овмещение дифференцирования с фильтрацией. Дифференцирование является линейной операцией, поэтому она перестановочна с фильтрацией вообще и может совмещаться с ней в одном фильтре (общая весовая функция равна свертке исходных). При обьединении процедуры сглаживающей фильтрации и дифференцирования формируется единый "сглаживающий 2дифф фильтр" (см например рис 4.11). Это обьединение имеет большое разнообразие т.к. при жестком задании алгоритма производной имеется много вариантов структур усредняющего фильтра. При всем разнообразии признаком 2дифф фильтра является:

1) симметричность весов относительно центра базового интервала,

2) равновеликость положительной и отрицательной площади (сумма всех весовых коэффициентов равна нулю).

Особо следует выделить использование операций "децимации" и "раздвижек" весовых коэффициентов диф фильтра. Первая операция не является линейной (и не является перестановочной). Минимальное значение базы 2дифф фильтра соответствует трем отсчетным точкам. Если мы априорно уверены, что анализируемая кривая пологая и не имеет частых изломов, то точки весов диф функции можно раздвигать (вставляя нулевые весовые коэффициенты). При этом увеличивается база диф фильтра, например, вместо базы 3 возникает база 5 (веса +1,0,-2,0,+1 см. рис 4.11а, или база 4, веса +1,-1,-1,+1). Получается эффект более резкого выделения экстремума. (Изменение масштаба по оси времени ведет к обратному сжатию спектра по оси частот. Как следствие, частотная характеристика 2диф фильтра изменяется, что видно на рис 4.11. Однако частотная характеристика раздвинутой весовой функции имеет сокращенный квадратичный участок и получает нулевые точки на частотах, кратных 1/Nt где t-интервал квантования Котельникова, N-число интервалов "раздвижки" или "нулевых вставок". Это явление используется для подавления сетевой помехи).