4 .4. Погрешности амплитудного квантования ацп

Погрешности в передаче амплитуды при заданном шаге квантования Δ различны для каждого типа сигнала. Однако, если сигнал имеет размах много больше Δ и его амплитуда может приближенно считаться случайной, то погрешности квантования будут проявляться как слабые возмущающие шумы. Закон распределения вероятности шумов будет равномерным с дисперсией D_кв= Δ²/12 (СКО = Δ/3.46), где Δ есть шаг квантования. Спектр шумов квантования можно считать равномерным в полосе 0-Fкв/2.

Шумы квантования увеличивают общую дисперсию шумов D_Σ =D_T+D_кв: где D_Т - дисперсия тепловых шумов. Если потребовать, чтобы эти добавочные шумы квантования увеличивали общую дисперсию шумов прибора не более чем на 10%, то шаг квантования Δ должен быть примерно равен СКО собственных шумов прибора. Т.к. спектр дополнительных шумов квантования равномерен, то при последующей обработке он может подавляться фильтрацией и накоплением.

Представляет интерес случай, когда сигнал на входе АЦП много меньше уровня шума. В этом случае шаг квантования будет много больше сигнала и кажется, что сигнал будет потерян. Например, при накопительных методиках и уровне входного шума усилителя порядка 2-4 мкВ, уровень сигнала может быть порядка 0.2мкВ. Оказывается, что малый сигнал не теряется при квантовании не смотря на то, что шаг квантования много больше уровня сигнала. Однако шаг Δ должен быть согласован с СКО шума (Δ =2мкВ в нашем примере). Прохождение малого сигнала через АЦП с шагом квантования много больше уровня сигнала называется эффектом линеаризации нелинейной системы за счет шумов (помех). Малый сигнал при последующем накоплении выделяется из шума точно так же, как и в линейной системе без квантования.

4.5. Погрешности за счет выходного интерполирующего фильтра

П осле цифровых преобразований сигналы выводятся в виде графиков или изображений. Эти графики получаются точечными, что неудобно для наблюдения. Для перевода точечных графиков в непрерывные используются процедуры интерполяции (интер - внутри, между точками отсчетов). Здесь мы рассмотрим интерполяцию с использованием фильтров.

Классическим примером интерполирующего фильтра является фильтр Котельникова. Этот фильтр имеет вид ФНЧ с идеально прямоугольной частотной характеристикой и граничной частотой Fкв/2. Процедура интерполяции заключается в пропускании отсчетов сигнала через интерполяционный фильтр. Начальная форма сигнала восстанавливается абсолютно точно, без искажений.

Более наглядно привлечение операции свертки (эквивалентной фильтру). В процессе свертки каждая точка цифрового сигнала заменяется откликом фильтра с соответствующей (весовой) амплитудой. На рис 3.4 подобная процедура показана для фильтра с прямоугольным интерполирующим откликом.

Таким образом интерполяция происходит при замене каждой точки отсчета интерполирующим импульсом. Наиболее часто используют прямоугольные интерполирующие импульсы (с шириной Ткв), треугольные (с шириной по основанию 2Ткв) и более сложные, например, усеченные sinX/X рис 3.4. Интерполирующий фильтр с откликом в виде прямоугольного импульса реализуется наиболее просто: каждой цифровой точке соотносится прямоугольный импульс с амплитудой цифрового значения. Такой интерполяционный отклик характерен для печати графиков на точечных принтерах. Если ширина точки перекрывает Интервал квантования, то интерполяцию прямоугольными импульсами называют «вертикальной интерполяцией» т.е. вертикальный просвет между соседними точками заполняется вертикальным «штрихом», горизонтальное обеспечивается шириной точки.

При интерполяции прямоугольным импульсом сигнал сильно искажается. Поэтому такая интерполяция применяется при частотах квантования значительно превышающих частоту спектра сигнала. Лучший результат достигается с использованием фильтра с треугольным откликом. Треугольный импульс дает эффект простого соединения соседних точек графика наклонными прямыми. Возможно использование других интерполяционных откликов, например, импульса sinx/x с усеченными «крыльями» (рис 3.4д).

Введем классификацию интерполирующего отклика по величине его базы (или длительности) измеренной числом точек отсчета. Прямоугольный отклик имеет базу 1, треугольный - 2, усеченный sinx/x - 2 или 4 и т.д. Оценивать погрешности интерполяции можно нахождением максимального (или усредненного) отклонения восстановленного графика от исходного, не искаженного. Такое отклонение различно для различных типов сигналов, поэтому в качестве эталонного сигнала можно взять синусоидальный с единичной амплитудой и изменять его частоту в пределах всей полосы полезных частот, например, от 0 до Fкв/2. Создана программа нахождения погрешности интерполяции синусоидального сигнала при разных формах интерполирующего фильтра. Отыскивались значен ия пяти процентной и десяти процентной интегральной погрешности отклонений на периоде контрольного сигнала. Величина погрешности исчислялась в отношении к полному размаху сигнала. Результаты представлены на графиках рис 3.5.

Из графиков следует, что повсеместно используемый простей­ший интерполяционный фильтр с прямоугольным откликом имеет очень плохое качество и требует завышенного значения частоты временного квантования сигнала при стандартном АЦП преобразовании. Для допустимой максимальной погрешности в 10% частота квантования должна примерно в 15 раз превышать значение высшей частоты информационного сигнала. (При допустимой максимальной погрешности 1% отношение должно быть увеличено еще в 10 раз!).

Интерполирующий фильтр второго порядка с треугольным откликом при тех же искажениях в 10% позволяет использовать частоту квантования с превышением информационной частоты сигнала всего в 5 раз. (При допустимой погрешности 1% «выгодность» возрастает в 10 раз).

Более сложные интерполирующие фильтры (рис 3.4) дают интересную зависимость погрешности от частоты восстанавливаемого сигнала. Погрешность не сходит к нулю для низких частот, однако сохраняет малые значения в более широкой полосе частот (в 1,4 раза более широкой по сравнению с фильтром, имеющим треугольный отклик). Замечено, что простое отсечение боковых крыльев интерполирующей функции sinx/x дает результат, который может быть улучшен подбором формы отклика, например, снижением амплитуды оставшихся боковых крыльев. Графики значений погрешности этих фильтров выявляют интересное явление: погрешность уменьшается с ростом частоты, имеет минимум и лишь потом растет. Естественно средняя погрешность везде ниже максимальной. В целом можно считать, что интерполирующий фильтр шириной 4 позволяет выбирать частоту квантования всего в три раза превышающую информационную частоту сигнала (В идеале частота квантования должна превышать граничную частоту сигнала в два раза).

В наше время регистрация графиков происходит на точечных принтерах. Точечный принтер реализует прямоугольный отклик интерполяции. Повысить качество (снизить погрешности) регистрации возможно с использованием предварительной интерполяции, позволяющей повышать эквивалентную частоту квантования. (Вводятся промежуточные отсчеты по методу, например, интерполяции с треугольным откликом). Так относительно низкая частота квантования АЦП делается более «высокой» для качественного вывода на печать с вынуждено прямоугольной формой интерполирующего отклика.

В современных электрокардиографах практически всеми фирмами-изготовителями используется частота квантования 500Гц и интерполяционный фильтр первого порядка с прямоугольным откликом. Эти значения дают удовлетворительное качество графиков ЭКГ. Графики при этих условиях не вызывают нареканий врачей. Это обьяснимо, ибо типовой спектр электрокардиограмм почти не имеет частот выше 60 Герц, что примерно соответствует уровню искажений 10% при частоте квантования 500 Гц. Погрешности проявляются в области с высокой крутизной графика в виде ступенчатой изрезанности крутых фронтов. В новых разработках приборы повышают частоту квантования до 1000 Гц и выше.

Можно оценить погрешность отсчета максимальной амплитуды чисто синусоидального сигнала (или импульсного сигнала, вершина которого хорошо апроксимируется параболой) при условии, что отсчет попадает не на максимум, а симметрично на два ската от макушки. Погрешность амплитуды для синусоиды с частотой f_n будет:

Погр = 1/А(А-Аsin(π/2- 2πf_n(T/2)))=1-cosπ/N= π ²/2N²,

где N - есть отношение периода нашей синусоиды к интервалу дискретизации Т (N>>1). Например, если требуется погрешность не выше 1 процента, то N должно быть 22, для 10% N примерно 6,6. Погрешность по этой формуле совпадает с графиком на рис 3.5 для случая треугольного интерполируюшего фильтра.