7.10 Использование интегральных преобразований

Интегральные преобразования обратимы, информация при преобразовании не теряется. Оно переводит нас из одного пространства в другое, например из пространства времени в пространство спектров. На практике используется то пространство, в котором информативные фрагменты или параметры более ярко выражены. Например для колебательных функций f(t) график спектра наблюдать удобнее, чем график собственно функций. На рис 7.9 показано изменение спектра и самой функции: малые изменения частоты колебаний отчетливо видны только на графике спектра. Простой же импульсный сигнал лучше наблюдать во временном пространстве. Гауссов импульс exp(t-T)² имеет одинаковую форму в обоих пространствах. Это граничный случай. Типовым примером удобства использования спектрального пространства для наблюдения параметров является энцефалография.

Функции сигнала могут зависеть от ряда параметров. Типовыми параметрами являются масштабные коэффициенты и сдвиг. Спектр сигнала инвариантен к сдвигу. Этим свойством удобно пользоваться в задачах обнаружения нужного фрагмента при неизвестном его расположении (неизвестном сдвиге). В области спектров Фильтр этого фрагмента обнаружит его независимо от величины сдвига.

7.11. Частотно временной анализ (рис 7.10)

В пространстве времени нет частот, в пространстве спектров нет времени. Потому что преобразование проводится по всей области существования сигнала. Однако иногда информационный фрагмент сигнала короче всего сигнала. И нас интересует спектр только этого фрагмента. Преобразование Фурье можно проводить только на участке выбранного фрагмента. Естественно при смене фрагмента спектр меняется. Возникает эффект зависимости спектра от времени. Например, если проводить спектральное преобразование речи на большом интервале времени т от общий спектр по множеству слов не информативен. Распознавание отдельных звуков становится невозможно. Если использовать спектральный анализ коротких временных интервалов, охватывающих только отрезок существования звука - его фонем, то спектр фрагмента становится основой распознавания речи.

Интервал для анализа выделяют умножением всего сигнала на выделяющую функцию (например, в виде прямоугольного импульса). Импульс выделения перемещают плавно или дискретно по оси времени. Так мы получаем спектрально временное разложение. Если выделяющий интервал смещается плавно, то мы имеем спектральный анализ на "скользящем" интервале. Появляется понятие двумерного пространства частота - время (рис 7.10). Впервые оно было введено в 30х годах прошлого столетия в работах по анализу разборчивости речи.

Вместо прямоугольного можно использовать выделяющий импульс любой другой формы, например ехр(-х²). Преобразование с такой выделяющей функцией нашло красивое название "Вайв-Лет". Для нас оно является частным случаем анализа Фурье на скользящем интервале.

7.12. Теорема отсчетов как преобразование Фурье

Преобразование графика непрерывного сигнала к дискретным отсчетам спектра так же есть преобразование Фурье. Всем хорошо знакомо квантование во времени, однако теперь мы утверждаем, что это есть разложение в ряд, аналогично разложению Фурье с функцией ядра типа sin(t-nT)/(t-nT)). В этом случае взятие отсчетов сопровождается фильтрацией - отбрасыванием всех частот, находящихся выше Fв=1/2Т, Т - интервал взятия отсчетов. Полученные дискретные значения являются спектром разложения исходной функции. Закономерности такого преобразования определяются теоремой отсчетов Котельникова (Уиттакер 1894г, Котельников 1934г. Шеннон, Найквист 1944г).

Реальные сигналы только условно ограничены по спектру. Преобразование в этих случаях имеет погрешности. Их можно оценить, находя спектральные искажения при преобразованиях. Т.к. взятие отсчетов эквивалентно процедуре интегрального преобразования с перемножения сигнала на решетчатую последовательность δ - импульсов, то результирующий спектр определен как свертка спектров участников перемножения. Наглядно результат показан на рис 7.11. Спектральной плотности зеркально отражаются от точек f= 1/T и их "хвосты" накладываются на полезный низкочастотный участок спектра сигналов, вызывая интерференционные искажения.

Дискретное представление сигналов и ограничение преобразования Фурье шириной окна из N точек позволяет ввести понятие размерность сигнала (или его фрагмента) равную N. Размерность сигнала определяется как произведение ΔТхΔF , т.е. произведение длительности сигнала ΔТ на ширину полосы спектра ΔF. Важно отметить, что число независимых отсчетов Котельникова совпадает с числом независимых спектральных полос Фурье преобразования на этом интервале. Точно также эта величина имеет отношение к предельным возможностям цифровой фильтрации с ограниченной базой фильтра N. Любой не рекурсивный цифровой фильтр может быть представлен как параллельный анализатор Фурье с базой N отсчетов, в котором выделенные спектральные составляющие могут быть изменены по амплитуде или вовсе убраны. Однако важно отметить, что любой фильтр на базе N не может обеспечить крутизну среза частотной характеристики фильтра большую, чем 1/NT.