29

§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис

Определение. Векторы a1 , a2 , …, ak называются линейно зависимыми, если существуют числа 1 , 2 , …, k , не все равные нулю, для которых имеет место равенство

Таким образом, если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Справедливо и обратное: если один из векторов представлен в виде линейной комбинации других векторов, то все эти векторы линейно зависимы.

Теорема 1. Всякие три вектора на плоскости a , b и c линейно зави-

симы.

ров b и c , следовательно, a , b , c линейно зависимы.

2) Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что

a1 1 a2 2 a3 .

Значит

a1 1 a2 2 a3 0 a4 ... 0 ak ,

следовательно, данные векторы линейно зависимы.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора a и b были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.

Следствие 2. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Теорема 3. Всякие четыре вектора a , b , c и d в пространстве линейно зависимы.

Доказательство. Допустим, что рассматриваемые векторы имеют общее начало. Для того, чтобы показать их линейную зависимость, достаточно убедиться в том, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Возможны два случая.

1) Среди данных векторов существует тройка компланарных, например, a , b

31

жет быть представлен в виде суммы трех векторов, коллинеарных соответственно векторам b , c и d .

Следствие 3. Если число векторов в пространстве больше четырех, то они линейно зависимы.

Теорема 4. Для того, чтобы 3 вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Следствие 4. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

7.1 Базис на плоскости и в пространстве

Определение. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора.

Из теоремы 2 следует, что два любых неколлинеарных вектора образуют на плоскости базис.

Пусть b и c образуют на плоскости базис. Тогда для любого вектора плоскости a имеем

c .

Соотношение (3) называют разложением вектора a по базису векторов

b и , а числа 1 – аффинными координатами вектора a :и 2 a 1 b 2 (3)c

a 1; 2 b , c .

Теорема 5. Разложение вектора a по базису векторов b и c является единственным.

Доказательство. Допустим, что наряду с разложением (3) имеет место разложение

32

Определение. Базисом в пространстве называются три любых ли-

нейно независимых вектора.

Из теоремы 4 следует, что всякие 3 некомпланарных вектора образуют в пространстве базис. Как и в случае плоскости, любой вектор пространства

a однозначно разлагается по базису b , c и d :

a 1 b 2 c 3 d .

Числа 1 , 2 , 3 называются аффинными координатами вектора a :

a1; 2 ; 3 b , c , d .

7.2Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат

Рассмотрим в пространстве три вектора i , j , k , которые имеют еди-

ничную длину и попарно перпендикулярны. Т.к. они некомпланарны, то образуют в пространстве базис, который называют прямоугольным или Декартовым базисом. Пусть точка O – общая на-