24
Решение.
|
2x |
|
x |
2 |
|
x |
3 |
1, |
|
|
x |
|
x |
2 |
2x |
3 |
5, |
x |
x |
2 |
2x |
3 |
5, |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
3x1 2x2 2x3 1, |
|
2x1 x2 |
x3 1, |
|
|
3x2 5x3 9, |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
2 |
2x |
3 |
5, |
|
3x |
|
2x |
2 |
2x |
3 |
1, |
|
|
5x |
2 |
8x |
3 |
14, |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 |
2x3 5, |
|
|
x1 |
x2 |
2x3 5, |
|
x 1, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
5 |
x3 3, |
|
|
|
x2 |
|
5 |
x3 |
3, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
x2 2, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
5x |
|
8x |
|
14, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1, |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
1; 2; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Замечание. Нет необходимости выписывать системы (6), (7), …, (11). Все преобразования можно проводить над матрицами, составленными из коэффициентов этих систем.
Системе (6) соответствуют две матрицы A и A :
a |
a |
... |
a |
|
|
|
a |
a |
... |
a |
b |
|
||||||
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
1 |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
, |
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
b2 |
|
|||||||
A |
|
... |
... |
... |
|
A |
|
|
... |
... |
... |
... |
. |
|||||
... |
|
|
|
... |
|
|||||||||||||
a |
m1 |
a |
m2 |
... |
a |
|
|
|
|
a |
m1 |
a |
m2 |
... |
a |
mn |
b |
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
m |
|||||||
Матрица A называется матрицей системы и состоит из коэффициентов системы, матрица A называется расширенной матрицей системы и отличается от матрицы системы столбцом, состоящим из свободных членов уравнений системы. При решении системы (6) методом Гаусса элементарные преобразования системы заменяются соответствующими элементарными преобразованиями, выполняемыми над ее расширенной матрицей A .
§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
Определение.
a
A
Вектором называется направленный отрезок прямой.
|
Точка |
A называется началом вектора |
|
|
AB , а |
||
B |
точка |
B – его концом (рис. 1.1). |
|
|
|
|
Обозначения: AB , a .
Рис. 1.1 |
Определение. |
Длина вектора называ- |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||
ется его модулем и обозначается |
AB |
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
Определение. Вектор, начальная точка которого совпадает с его ко- |
||||
нечной точкой, называется нуль-вектором и обозначается 0 |
. Нуль-вектор не |
|||
имеет определенного направления, его модуль равен нулю: |
0 |
0 . |
||
Определение. |
Два вектора a и b , расположенные на одной прямой |
|||
или на параллельных прямых, называются коллинеарными. |
|
|
||
Определение. |
Два вектора a и b называются равными, если |
|||
1) a |
b |
; |
|
|
2) a и b коллинеарны;
3) a и b направлены в одну сторону. В этом случае пишут: a b .
Для каждого вектора a 0 существует противоположный вектор, обозначаемый a . Вектор a имеет модуль, равный модулю вектора a , коллинеарен ему, но направлен в противоположную сторону.
Линейные операции над векторами
1. Сложение векторов.
b
a
a b
Рис. 1.2
a |
a b |
b
Рис. 1.3
Чтобы сложить векторы a и b , нужно:
а) от конца вектора a отложить вектор b , соединить начало вектора a с концом вектора b . Полученный вектор – сумма векторов a и b (рис. 1.2);
б) отложить векторы a и b от одной точки, по-
строить на векторах a и b параллелограмм, как на сторонах, построить диагональ параллелограмма, исходящую из общего начала векторов. Это будет
сумма векторов a и b (рис. 1.3).
Свойства операции сложения векторов.
1)a b b a – переместительный закон.
2)a b c a b c – сочетательный закон.
|
b |
b |
|
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
b |
b c |
c |
|
|
|
|
||||||
c |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a b c
Рис. 1.4
26
Рис. 1.4 иллюстрирует выполнение сочетательного закона и правило сложения трех и более векторов.
3)a 0 a .
2. Вычитание векторов.
Определение.
a |
|
a b |
|
||
|
b |
|
Рис. 1.5
Разностью двух векторов a и b называется третий вектор c a b , сумма которого с вычитаемым вектором b дает вектор a .
Таким образом, если c a b , то c b a . Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 1.5).
3. Умножение вектора на число. |
|
|
|
|
тор c |
Определение. Произведением вектора a на число называется век- |
|||
, коллинеарный вектору a , имеющий длину |
c |
a |
и то же на- |
|
правление, что и вектор a , если 0 , и противоположное направление, если
0 .
Противоположный вектор a можно рассматривать как произведение:
a 1 a .
|
Очевидно, |
|
a a 0. |
|
Очевидно, что два вектора a и b коллинеарны b a . |
a |
Произведение вектора a на число можно записывать как в виде |
, так и в виде a . |
Свойства операции умножения вектора на число.
1)a b a b – распределительный закон.
Доказательство следует из того, что, если стороны параллелограмма увеличиваются в раз, то и диагональ увеличится в раз.
2) 1 2 a 1 2 a .
Определение. Вектор, длина которого равна 1, называется единич-
ным.
Замечание. Каждый вектор a равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления a0 :
a a a0 .
Вектор a0 называют ортом вектора a .