36
§ 8. Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
a |
|
|
|
|
b |
|
cos . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Свойства скалярного произведения векторов. |
||||||||||||||||||||||||
1) a b |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos |
|
a |
|
прa b |
|
|
|
b |
|
|
|
прb a . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2)a b b a .
3)a b a b a b .
4)a b c a c b c .
Доказательство:
a b c c прc a b c прc a прc b c прc a c прc b
a c b c .
5) |
a b 0 |
|
|
|
|
a 0 , |
|
|
или |
|
b 0 , |
|
или |
90 . |
|
|
|
||||||||||||||
|
Следствие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Для того, чтобы векторы a и b , не равные 0, были перпендикулярны, |
||||||||||||||||||||||||||||||
необходимо и достаточно, чтобы |
a b 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6) |
a a |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
cos 0 |
|
|
a |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8.1 Выражение скалярного произведения |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
через координаты перемножаемых векторов |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Пусть даны два вектора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; b . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
x |
; a |
y |
; a |
z |
|
и |
b b ; b |
y |
|
|
|
||||||||
|
Найдем a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a ax i ay j az k , |
|
|
b bx i by j bz k , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a b a |
x |
i a |
y |
j a |
z |
k b i b |
y |
j b k a |
x |
b i |
i |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
z |
|
|
x |
|
|
||||||
ay bx j i az bx k i ax by i j ay by j j az by k jax bz i k ay bz j k az bz k k ax bx ay by az bz .