171

Пример 3.

Найти длину кривой 2sin .

Решение. Линия 2sin представляет собой смещенную окружность

§ 10. Объем тела

Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, и пусть известна площадь любого его сечения, произведенного плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например, к оси абсцисс (рис. 5.13).

При этом можно считать, что площадь такого сечения является известной нам функцией S(x) , где x – абс-

ления объема такого тела разобьем его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси x и пересекающих ее в точках x0 a , x1 , x2 ,

…, xn b . Заменим каждый слой прямым цилиндром с той же высотой и основанием, равным S(xi ) ; объем прямого цилиндра равен произведению пло-

щади его основания на высоту. Поэтому объем n -ступенчатого тела выразится суммой

n 1

Vn S(x0 )(x1 x0 ) S(x1 )(x2 x1 ) ... S(xn 1 )(xn xn 1 ) S(xi ) xi .

i 0