Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matematika_1.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
3.09 Mб
Скачать

69

8.5 Эллипсоид

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравне-

нием (рис. 2.30):

x2

 

y2

 

z2

1.

(6)

a2

b2

c2

 

 

 

 

Уравнение (6) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Величины a , b , c полуоси эллипсоида. Если они все различны, то эл-

липсоид называется трехосным; если какие-то две из них одинаковы, то эл-

z

 

 

липсоид является поверхностью враще-

 

 

ния. Например, если a b , то осью вра-

 

 

 

 

 

 

 

 

щения будет ось Oz .

c

 

 

 

При a b c эллипсоид вращения

 

 

 

 

b

 

называется вытянутым;

a

O

y

при a b c сжатым.

 

 

 

 

Если a b c , то эллипсоид пред-

 

 

 

 

ставляет собой сферу.

 

 

 

 

x

 

 

Точки пересечения эллипсоида с

 

 

осями координат называются вершинами

Рис. 2.30

 

 

эллипсоида.

8.6 Гиперболоид

Различают однополостной и двуполостной гиперболоид.

z

 

Определение.

Однополостным

ги-

 

 

перболоидом называется поверхность, кото-

 

 

рая в некоторой системе декартовых прямо-

 

 

угольных координат определяется уравнени-

 

 

ем (рис. 2.31):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

(7)

 

y

 

 

a2

b2

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

каноническим

 

Уравнение

(7)

называется

 

 

 

 

уравнением однополостного гиперболоида.

x

 

Однополостной

гиперболоид

состоит

 

из прямых, эти прямые называются прямо-

 

 

 

 

линейными

образующими.

Однополостной

 

 

гиперболоид

имеет две

системы

образую-

Рис. 2.31

щих, которые определяются уравнениями:

 

 

x

 

 

z

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

,

 

 

 

 

 

a

 

 

c

 

 

 

b

 

x

 

 

z

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

a

 

 

c

 

 

 

b

 

 

 

 

 

x z 1 y ,

иa c b

x z 1 y ,

a c b

70

где , – некоторые числа, не равные одновременно нулю; a , b , c полу-

оси гиперболоида.

z

 

Через каждую точку однополостного ги-

 

перболоида проходит по одной прямой из ука-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

занных семейств.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

 

Двуполостным

гипербо-

 

 

 

 

 

лоидом называется поверхность, которая в неко-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торой декартовой системе координат определя-

 

O

y

ется уравнением (рис. 2.32):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

y

2

 

 

 

z2

1.

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

a2

 

b2

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (8) называется каноническим уравне-

 

 

 

 

 

нием двуполостного гиперболоида.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

a b

гиперболоиды

являются по-

Рис. 2.32

 

 

верхностями вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.7 Параболоид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

Определение.

 

Эллиптическим

парабо-

 

 

 

 

 

лоидом называется поверхность, которая в неко-

 

 

 

 

 

торой системе декартовых прямоугольных ко-

 

 

 

 

 

ординат определяется уравнением (рис. 2.33):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z ,

 

 

(9)

 

 

O

y

где p , q

 

 

p

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положительные числа, называемые

 

 

 

 

 

параметрами параболоида.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Уравнение (9) называется каноническим уравне-

Рис. 2.33

 

нием эллиптического параболоида.

 

В случае p q параболоид является поверхностью вращения.

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

Гиперболиче-

 

 

 

 

 

 

ским параболоидом называется по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

верхность, которая в некоторой сис-

 

 

 

O

 

 

 

 

теме

 

декартовых

прямоугольных

 

 

 

 

 

 

 

координат определяется уравнением

x

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 2.34):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z ,

(10)

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.34

 

Уравнение (10) называется канони-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ческим уравнением гиперболическо-

го параболоида.

Гиперболический параболоид состоит из прямых, он имеет две системы образующих, которые определяются уравнениями:

71

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

2 z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

q

и

 

 

 

 

q

 

y

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

q

 

где , – некоторые числа, не равные одновременно нулю.

Через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной прямой из указанных семейств.

Пример 4. Привести к каноническому виду уравнение

4x2 9 y2 36z2 8x 18y 72z 13 0 .

Решение. Сгруппируем члены с одинаковыми координатами:

4(x2 2x) 9( y2 2 y) 36(z2 2z) 13 .

Дополнив до полных квадратов выражения в скобках, получим:

4(x2 2x 1) 9( y2 2 y 1) 36(z2 2z 1) 13 4 9 36 ,

или

4(x 1)2 9( y 1)2 36(z 1)2 36 .

Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку O (1; 1;1) . Формулы преобразования координат име-

ют вид: x x 1,

y y 1,

z z 1. Тогда уравнение поверхности запи-

шется так:

 

 

 

 

 

 

x

2

 

y

2

 

 

 

4x

2

9 y

2

36z

2

36 , или

 

z

2

1.

9

4

 

 

 

 

Это уравнение определяет эллипсоид; его центр находится в новом начале координат, а полуоси соответственно равны 3, 2 и 1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]