§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними

78

Определение.

Переменная величина

y называется ограниченной,

ес-

ли существует число C 0 , что для всех своих значений

y

C . В против-

ном случае величина y называется неограниченной.

Пример 2.

y

Рассмотрим

функцию

y tg x

(рис. 3.13).

Если

x

4

;

4

,

то

функция

y

4

2

ограниченная, т.к.

y

C 1.

O

x

2

4

Если

;

,

то

функция

y

x

2

2

неограниченная.

Рис. 3.13

Определение.

Бесконечно малой (б/м) называется переменная вели-

x 3 :

0,1; 0,01; 0,001; …

В этом случае говорят, что величина x 3 :

x 3

lim x 3.

80

Пример 1.

Доказать:

lim(3x 1) 7 .

x 2

Доказательство.

Для любого 0 имеем:

f (x) 7

3x 1 7

3x 6

3

x 2

x 2

.

Таким образом,

для любого 0

3

существует

такое, что как

x 2

f (x) 7

3

только

. Следовательно,

lim(3x 1) 7 .

x 2

Определение 2.

Число

b

называется

пределом

функции

f (x) при

x , если для любого сколь угодно малого числа 0

существует такое

N , что для всех x N выполняется неравенство

f (x) b

.

Геометрический смысл предела

y

f (x)

b

b

b

O

N

x

Рис. 3.17

Пример 2.

Доказать:

lim

x2 sin x

1.

x2

x

Доказательство. Для любого

0 имеем:

f (x) 1

x2

sin x

1

sin x

1

1

1

x

1

N

x2

x2

x2

x2

x

2

1

N

Тогда для любого 0 существует такое

,

что как только

x N

f (x) 1

. Следовательно,

lim

x2

sin x

1.

x2

x

§ 8.

Односторонние пределы функции в точке

Определение 1.

Число

b1

называется

пределом

функции

f (x) при

x x0

слева, если для любого сколь угодно малого числа 0

существует

такое

0 ,

что

для

всех

x ,

удовлетворяющих

соотношению

x0

x x0 , выполняется неравенство

f (x) b1

.

Обозначение:

lim

f (x) b1 .

x x0 0