180
x 5(t |
sin t), |
0 t . |
|
cost), |
|
y 5(1 |
|
5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций (ось вращения – ось Ox ):
y x2 5x 6, |
y 0 . |
Вариант 2
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A( 7; 3) , |
B(5; 2) , C(8; 2) треугольника. Требуется |
найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. |
На прямой |
3x 4 y 5 0 найти точку, равноудаленную |
от точек |
A( 3; 2) и B(3; 0) . |
|
||
3. |
Найти прямую, проходящую через точку пересечения |
прямых |
|
3x y 1 0 , x 3y 1 0 и параллельно оси абсцисс. |
|
||
4. |
Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма расстояний |
||
от точек F1 ( 1; 3) |
и F2 (7; 3) есть величина постоянная, которой принадлежит |
||
точка P(6; 27 5) . Сделать чертеж. |
|
||
5.Найти расстояние фокуса гиперболы x2 3y2 6 , абсцисса которого положительна, от диагоналей прямоугольника с вершинами в точках пересечения гиперболы с эллипсом x2 3y2 12 . Сделать чертеж.
6.Дано уравнение параболы y2 6x 2 y 11 0 . Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне-
ние параболы приняло вид x2 ay или y2 ax . Построить обе системы координат и параболу.
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
181
3x 2 y z 2 0,2x y 3z 0,
x 3y 4z 0,
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
8. Даны векторы a {4; 7; 8} , b {9; 1; 3} , c {2; 4; 1}, d {1; 13; 13} в
некотором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (3;3;9) , A2 (6;9;1) , A3 (1; 7;3) , A4 (8;5;8) пирамиды. Тре-
буется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
2x5 3x2 |
5 |
; |
|
б) |
lim |
2x2 |
5x |
3 |
; |
|
||
3x5 4x2 |
1 |
|
x2 |
x 6 |
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
x 3 |
|
|
|
||||||
в) |
lim |
7 x |
7 x |
; |
г) |
lim sin 4x sin 2x |
; |
|||||||
|
7x |
|
||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
6x |
|
|
|
||
д) |
lim |
2x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 0 ln(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Функция y f (x) |
задана различными аналитическими выражениями для |
|||||||||||||
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
2 |
4, |
x 2; |
x |
|
||
y 3x 2, |
2 x 0; |
||
12 x2 , |
x 2. |
||
|
|
|
|
182
3. |
Найти производные |
dy |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) |
y |
|
|
|
; |
|
б) |
y 5 |
2 |
x |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
||||||||||
|
|
4 x2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
y ln tg3 |
x |
; |
|
|
г) |
y 4arctg |
1 2x ; |
||||||||
|
6 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
д) |
e y x 2 x2 a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
||||||||||||
dx |
dx2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x t3 8t,y t5 3t.
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
|
а) |
y x2 |
1 cos |
x ; |
б) |
y (x2 2) 7 |
4 x2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 (12x 3)2 |
|||||||
6. |
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|
||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
ln(x a) |
|
|
б) |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
; |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
x a ln(ex ea ) |
|
|
|
x 1 |
x |
|
|
|
ln x |
||||||||||
7. |
На линии y 2x3 |
4x 7 найти точку, в которой касательная к этой ли- |
|||||||||||||||||||
нии перпендикулярна прямой x 2 y 3 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
||||||||||||||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
y x3 9x2 24x 15 ; |
б) |
y |
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
ln |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y |
|
x |
5 x2 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) |
|
|
|
|
, x 0,98 ; |
б) |
y x |
|
, |
|
|
x 2,002 . |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Найти частные производные дz , |
дz функции z z(x; y) : |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
дx |
дy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
z x2 xy y2 ; |
б) |
z arctg |
|
x |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||
183
11. а) Найти производную сложной функции |
z |
f ( (t); (t)) : |
|||||
f (x; y) arccos(x y) , |
(t) 3t , |
(t) 4t3 . |
|||||
б) Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
сложной функции |
|||
дu |
дv |
||||||
|
|
|
|
|
|||
z f (u; v); (u; v) : |
|
|
|
|
|||
f (x; y) x ln y , |
(u; v) u cos v , |
(u; v) u sin v . |
|||||
12.Дана функция z 3x2 xy x y и две точки A(1; 3) и B(1,06; 2,92) . Требуется:
1)вычислить значение функции в точке B ;
2)вычислить приближенное значение z1 функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;
3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при
замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности
z 3x2 xy x y в точке C(1; 3; z(1; 3)) .
Контрольная работа № 3
1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием:
а) |
|
|
xdx |
|
|
|
б) |
|
x |
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
; |
|
e |
|
ln(1 3e |
|
) dx ; |
|||
(x |
2 |
|
4) |
6 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
|
2x2 3x 1 |
dx ; |
г) |
|
|
dx |
. |
|
||||||
|
|
|
x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin x tg x |
|
|
||||||
2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл:
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
dx . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|||
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
3. Вычислить |
площадь фигуры, |
ограниченной одной аркой циклоиды |
|||
x a(t sin t) , |
y a(1 cos t) |
(0 t |
2 ) и осью Ox . |
||
4.Вычислить длину дуги кривой:
3e3 
4 , 
2 
2 .