Экстремум функции нескольких переменных

д2 z

2

.

дy дx

4z0

1

0 (4z 1) 4zy 2x

д2 z

2x

0 .

дy2

4z 1

(4z 1)

2

y

M 0

6

2

4

4z0 1

4z0 1

0 , таким образом, экстремума нет.

2

0

(4z0

1)2

4z0 1

ли не включает (рис. 3.29).

D

Теорема. Непрерывная функция z z(x; y) дости-

гает своего наибольшего и наименьшего значений в замк-

Рис. 3.29

нутой области D , причем они достигаются либо в стацио-

нарных точках, либо на границе области D – кривой Г.

z x2 2xy 4x 8y

в

прямоугольнике,

ограниченном

прямыми

x 0 , y 0,

x 1, y 2 .

Решение. Найдем стационарные точки данной функции.

y

Г2

y 2

дz 2x 2 y 4 ,

дz 2x 8 .

дz

дx

дy

0,

2x 2 y

4 0,

x 4,

дx

Г1

Г3

D

дz

0,

2x 8 0,

y 6.

дy

x 1

Но точка M0 ( 4; 6) D . Следовательно, данная

O

Г4

x

функция достигает своего наименьшего и наи-

большего значений на границе Г (рис. 3.30).

Рис. 3.30

Имеем:

Г Г1 Г2 Г3 Г4 .

1) Г1 :

x 0 , y 0; 2 .

z

Г1

8y 1( y) , y 0; 2 .

1(0) 0 , 1(2) 16 .

2) Г2 :

y 2 , x 0;1 .

z

x2 4x 4x 16 x2 16 f (x) , x 0;1 .

Г2

1

x 0 .

f1

(x) 2x 0

f1(0) 16 , f1(1) 17 .

3) Г3 :

x 1, y 0; 2 .

y 0; 2 .

z

Г3

1 2 y 4 8y 10 y 3 2 ( y) ,

4) Г4 :

y 0 , x 0;1 .

z

Г4

x2 4x f

2

(x) ,

x 0;1 .

x 2 0;1 .

f2 (x) 2x 4 0

f2 (0) 0 ,

f2 (1) 3.

Таким образом, min z(x; y) 3 ,

max z(x; y) 17 .

D

D