124

21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала

Рассмотрим функцию z z(x; y) . Тогда полный дифференциал dz ддxz x ддyz y .

Полное приращение функции z z(x; y) имеет вид:

z ддxz x ддyz y (x; y) dz (x; y) ,

где (x; y) – б/м функция при x 0 , y 0 . Тогда z dz .

z z(x0 x; y0 y) z(x0 ; y0 ) z(x0 x; y0 y) z(x0 ; y0 ) dz

Формула (1) – формула приближенных вычислений с помощью полного дифференциала.

21.7 Производные высших порядков функции двух переменных

Рассмотрим функцию z f (x; y) . Пусть она имеет в какой-нибудь об-

Эти производные, в свою очередь, являются функциями независимых переменных x и y . Частные производные от этих функций называются вторыми

частными производными или частными производными второго порядка от данной функции z f (x; y) . Каждая производная первого порядка имеет две

частные производные; таким образом, мы получаем четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются так:

дифференцированием функции сначала по x , затем по y , другая, наоборот, – сначала по y , затем по x .

Пример 2. Найти все частные производные второго порядка функции z xy .

--------------------------------------------------

© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2014

Теорема Шварца. Пусть дана функция двух переменных z f (x; y) . Тогда, если она имеет непрерывные смешанные частные производные второ-

Дадим аргументу x приращение x . Тогда u и v получат соответственно приращения u и v , через которые z выразится по формуле

127

21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства

Определение 1. Плоскость, проходящая через точку M 0 поверхности,

называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку M0 и любую точку M по-

верхности, стремится к нулю, когда точка M стремится к точке M0 .

Определение 2. Нормалью к поверхности в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости к поверхности, построенной в данной точке.

Свойства градиента

1)grad (u1 u2 ) grad u1 grad u2 ;

3)grad(u1u2 ) u2 grad u1 u1 grad u2 ;

4)grad f (u) f (u) grad u ;

5)градиент есть вектор скорости наибыстрейшего возрастания функции.

Пусть дана функция F(x; y ; z) . Уравнение F(x; y ; z) 0 задает в про-

странстве некоторую поверхность. Выведем уравнение касательной плоскости в точке M0 (x0 ; y0 ; z0 ) к этой поверхности:

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ,

где n A; B; C – вектор нормали.

В качестве вектора нормали можно взять вектор-градиент:

Формула (3) – уравнение касательной плоскости.

Пример 3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

Пример 4. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z xy в точке M0 (1;1;1) .