Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

142

§ 4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Определение. Многочленом n -й степени по переменной x с действительными коэффициентами называется выражение

P (x) a	0	xn a xn 1	... a	n 1	x a	n	,	(1)
n	0	1		n 1		n

где a0 , a1 , …, an – действительные числа, называемые коэффициентами многочлена (1).

Определение. Корнем многочлена (1) называется число a такое, что

Pn (a) 0.

Имеет место следующая теорема, которую принимаем без доказатель-

ства.

Теорема 1. Всякий многочлен n -й степени с действительными коэффициентами можно представить в виде разложения:

P (x) a		0	(x b )t1	... (x b	)tk (x2 p x q )l1		... (x2 p	m	x q	m	)lm , (2)
n			1	k	1	1
где	b1 , b2 , …, bk			– действительные корни многочлена Pn (x) , кратности

соответственно t1 , t2 , …, tk ;

p1 , q1 , p2 , q2 , …, pm , qm – действительные числа.

Причем квадратные трехчлены в круглых скобках не имеют действительных корней.

t1 t2 ... tk 2l1 2l2 ... 2lm n .

Определение. Дробно-рациональной функцией или просто рацио-

нальной дробью называется функция вида

R(x) Pn (x) ,

Qm (x)

где Pn (x) и Qm (x) – многочлены от x степени n и m соответственно.

Пример 1.

R(x) x3 2x2 x 1 . x2 x

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Замечание. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

143

В самом деле, пусть R(x) Pn (x) – неправильная рациональная дробь,

Qm (x)

т.е. n m . Тогда, разделив числитель на знаменатель, получим тождество

Pn (x) Qm (x) L(x) r(x) ,

где частное L(x) и остаток r(x) – многочлены, причем степень остатка r(x) меньше степени знаменателя m . Отсюда имеем представление

Pn (x) L(x) r(x) ,

Qm (x) Qm (x)

где r(x) – правильная рациональная дробь.

Qm (x)

Пример 2.
	x3 2x2 x 1	x2	x	1	.

	x 1			x 1

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби Pn (x)

Qm (x)

сводится к интегрированию многочлена L(x) и правильной рациональной

дроби r(x) .

Qm (x)

Т.к. интегрировать многочлены мы умеем, то остается рассмотреть интегрирование правильных рациональных дробей.

Интегрирование правильных рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов

Выясним,		каким образом всякая правильная рациональная дробь
Pn (x)	( n m )	может быть разложена на простейшие дроби. При этом раз-
Q (x)
m

ложении существенное значение имеет разложение знаменателя дроби Qm (x)

на произведение линейных и квадратичных множителей.

Пусть для определенности знаменатель Qm (x) разлагается на множители следующим образом:

Qm (x) (x a)k (x b)l (x2 px q) p ,

где квадратичный трехчлен x2 px q не имеет действительных корней. Тогда имеет место следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

144

Теорема.

Pn (x)

Правильную

рациональную

дробь

где

Qm (x)

Q (x) (x a)k (x b)l (x2 px q) p ,

можно единственным образом раз-

ложить в сумму простейших дробей:

Pn (x)

...

x a

(x a)2

(x a)k

x b

(x b)2

(x b)l

Qm (x)

x N

...

M p x N p

(*)

(x2 px q)2

(x2

px q) p

x2 px q

где Ai , Bi , Mi , Ni (i 1, 2, ... ) – действительные числа.

Из формулы (*) видно, что линейным множителям знаменателя Qm (x)

в разложении соответствуют простейшие рациональные дроби I и II типов, а квадратичным – простейшие дроби III и IV типов.

Следует заметить, что правило разложения правильной дроби на простейшие дроби остается справедливым при любом конечном числе линейных и квадратичных множителей в разложении знаменателя Qm (x) .

Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие (*) является метод неопределенных коэффициентов. Поясним применение этого метода на примерах.

Пример 3.

	x 2


x(x 3)

	x 2
	x(x 3)
	x(x 3)

dx .
A	B	A(x 3) Bx	x( A B) 3A	,
	x 3	x(x 3)	x(x 3)
x

A B

2 3,

5 3.

3A 2,

x 2

x 3

C .

x(x 3)

3 x

Пример 4.

5x3

17x2 18x 5

dx .

(x 1)

(x 2)

5x3 17x2 18x

(x 1)3 (x 2)

(x 1)2

(x 1)3

145

A(x 1)2 (x

2) B(x 1)( x 2) C(x 2) D(x 1)3

(x 1)3

(x 2)

( A D) x2 ( 4 A B 3D) x(5A 3B C 3D) ( 2 A 2B 2C D)

(x 1)3

(x 2)

A D 5,

A 5 D,

A 2,

4 A

B 3D 17,

B 3 D,

B 0,

5A 3B

C 3D 18,

C 2 D,

C 1,

2 A

2B 2C D 5,

10 2D 6 2D 4 2D D 5,

(x 3) 2

J 2

2 ln

x 1

3ln

x 2

( x

x 1

2 ln

x 1

3ln

x 2

C .

2(x 3)2

Пример 5.

3x3

x2 5x 1

dx .

x3 x

3x3 x2 5x 1

x3 x

3x3 3x

x2 2x 1

3x3 x2 5x

2x 1

x3 x

x2 2x 1

dx 3x J1 .

3 dx

x3 x

x2 2x 1

Bx C

A(x2

1) (Bx C)x

x2 ( A

B) xC A

x(x2 1)

x2 1

x(x2 1)

A B 1,

A 1,

2arctg x C ,

J 3x ln

2arctg x C .

146

§ 5. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые классы тригонометрических функций, интегрирование которых сводится к интегрированию дробно-рациональных функций с помощью специальных подстановок.

1.		n , m – целые числа.
1.	sinn x cosm x dx ,	n , m – целые числа.

а) n – нечетное, в этом случае замена u cos x ; б) m – нечетное, в этом случае замена u sin x .

Пример 1.

x cos4

x dx

u cos x,

du sin xdx,

(1 u2 )u4du

sin3

sin

x 1

cos

1 u

)du

cos7 x

cos5 x

C .

Пример 2.

sin x

u cos x,

u 2

C .

du sin xdx

2 cos2

cos3 x

Замечание. Этот же метод применим и в том случае, когда одно из чисел m или n нечетно и положительно, а другое – любое действительное число.

Пример 3.

sin2 x cos3 x dx

u sin x,

du cos x dx,

2 3 (1 u2 )du

cos

1 sin

x 1 u

3u5 3

3u11 3

2 3

8 3

5 3

11 3

) du

sin

x C .

Определение. Многочленом относительно двух переменных u и v

называется алгебраическая сумма произведений вида Aunvm , где n и m – целые неотрицательные числа (например, u2v 2uv u3v v3u 1).

147

Частное от деления двух многочленов относительно u и v называется

рациональным выражением относительно u и v (например, u2 1 ). u3 v

Рациональным выражением относительно функций (x) и (x) назы-

вается рациональное выражение относительно u и v , в которое вместо u подставлена (x) , вместо v – (x) . Рациональное выражение относительно

(x) и (x) принято обозначать:

	R( (x), (x)) .
Пример 4.
R(sin x, cos x)	sin x 2 cos x	.

	sin2 x 3cos3 x

2.R(sin x, cos x) dx .

Всякий интеграл такого вида можно свести к интегралу от дробно-

рациональной функции с помощью универсальной тригонометрической подстановки

u tg

Пример 5.

u tg

x 2arctg u,

2du

1 u2

2tg(x 2)

(x 2)

sin x

cos x

1 tg2 (x 2)

1 u2

tg2

(x 2)

2du

d (u 1)

1 u

(u 1)2

u2 2u 1

1) 1

C .

u 1

Следует заметить, что п.1 является частным случаем п.2. Однако решение с помощью универсальной тригонометрической подстановки во многих случаях получается довольно громоздким. Рассмотрим еще два частных слу-

148

чая п.2, когда при нахождении неопределенного интеграла рекомендуется использовать специальную подстановку, отличную от универсальной тригонометрической.

3.R(tg x) dx .

Замена u tg x .

Пример 6.
	3		u tg x,		x arctg u,	u3
	3		u tg x,		x arctg u,	u3
tg		x dx	dx	du				du
tg		x dx		du		1 u	2	du
				1 u2		1 u

		u					u2		1	d
u				du
u	1 u		2	du				2	2
	1 u							2	2
tg2 x	1	ln(tg			2	x 1)		C		tg2
2	2	ln(tg				x 1)		C		2
2	2									2

	(1 u2 )		u2
	1 u2		2

x 12 ln cos x

12 ln(u2 1) C

C .

4.R(sin2m x, cos2n x) dx .

Замена:

u tg x ,

1 u2

sin2 x

tg2 x

cos2 x

tg2 x

1 u2

tg2 x

§ 6. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные выражения.

		m1		m2		mk
1.	R(x, (ax b)	n1	, (ax b) n2		, ..., (ax b) nk ) dx ,		m ,	n .
							i	i

Данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции с помощью подстановки:

ax b t N , где	N – НОК n , n	, ..., n	k	.
	1 2		k

149

Пример 1.

6 x

x1 6

x t 6 ,

t 6t5dt

t6 dt

1 x1 3

dx 6t5dt

1 t 2

1 3 x

t 2

										1							5	t	3
					4		2			1					t			t
	6 t					t		1				2			t
	6 t					t		1		1 t		2	dt 6			5		3
										1 t						5		3
				5 6				x
			x					x	6		x arctg			6
									6					6
	6			5			3								x C .
				5			3
2.				Mx N						dx .

		Ax2				Bx C
		Ax2				Bx C

t arctg t C

а)

x a u,

arcsin u C

dx adu

1 x a 2

a2 x2

1 u2

arcsin ax C .

б)

x2 m

x2 m x t,

x2 m x2 2xt t 2 ,

x t 2 m

4t 2

2t 2 2m

t 2

m t

dt,

x t

4t 2

2t 2

t 2 m

2t 2

C ln

x x

C .

m t 2

,
	m t 2
	2t

		Интегралы		вида		Mx N	dx после	замены	переменной
						Ax2 Bx C

	1							M1t N1
t		Ax2	Bx C		приводятся к интегралам вида				dt , вычисле-
	2							pt 2 m

ние которых сводится к вычислению интегралов вида а) или б).

Пример 2.

3x 2

x2 x 2


	t 0,5 x2

dx			x 2	x 0,5,
	dt dx,	t 0,5 x

150

3t 1,5 2

0,5

t 2 t 1 4 t

t 2

7 4

0,5 2

dt 1

J .

t 2 7 4

dt 1

d t 2 7 4 1

t 2 7 4 2

t 2 7 4

C .

t 2 7 4

C2 .

t 2 7 4

J 3J1

1 J2 3 t 2

7 4 1 ln

t t 2

7 4

3 x2 x 2 1 ln

1 x2

x 2

C .

3.R x, Ax2 Bx C dx .

Заметим, что п.2 является частным случаем п.3.

После замены переменной t 12 Ax2 Bx C данный интеграл, в за-

висимости от значений A, B и C сводится к одному из следующих интегралов:

I.R t, a2 t 2 dt ;

II.R t, a2 t 2 dt ;

III.R t, t 2 a2 dt .

Эти интегралы находятся с помощью следующих подстановок:

I.	t a sin u ;			II.	t	a tg u ;	III. t	a	.
I.	t a sin u ;			II.	t	a tg u ;	III. t	cos u	.
								cos u
Пример 3.					1
	x2 2x 3		dx	t	1	(x2 2x 3) x 1,		x t 1, dx		dt,
					2
	(x 1)	3			2
	(x 1)			x2 2x 3 t 2 2t 1 2t 2 3 t 2 4

151

t 2 4

( sin u) du

2sin u du,

cos u

cos2 u

1 cos

t 2 4

2tg u

cos2 u

2tg u cos3 u

2sin u

u du

1 1 cos 2u

cos

sin

sin 2u

u arccos

2 ,

cos u

2 ,

t 2 4

sin u

1 cos2 u

1 4

t 2

arccos

1)2

C .

4. Интегрирование дифференциальных биномов

Определение. Дифференциальным биномом называется выражение

вида

xm a bxn p dx ,

где m , n , p – рациональные числа.

Теорема. Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:

1)	p – целое число; тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной
	дроби с помощью подстановки
	x t N , где N HOK(m, n) ;
2)	m 1 – целое число; к той же цели ведет подстановка
	n
	a bxn t s , где s – знаменатель дроби p ;
3)	m 1 p – целое число; интеграл рационализируется с помощью под-

становки

ax n b t s , где s – знаменатель дроби p .

Пример 4.

	dx		1	3		1 2
		x		(1 x	)		dx
	1 x3	x		(1 x	)		dx
x	1 x3

m 1,

n 3,

1 ,

m 1

целое,

2tdt

1 x3 t 2 ,

3x2 dx 2tdt,

2tdt

2dt

3x2

x 1 x3

3x3t

3(t 2 1)

J .

(t 1)(t

Разложим подынтегральную функцию:

152

2		dt
3
			1
	t 2

1		A			B		t( A B) A B .
(t 1)(t 1)		t 1			t 1		t 2 1

	A B 0,
	A B 1,
	A B 1,

Следовательно,

Тогда:

B A,		A 1 2,
			1 2.
2A 1,		B	1 2.
1		1		1	.
(t 1)(t 1)	2(t 1)			2(t 1)	.
(t 1)(t 1)	2(t 1)			2(t 1)

J	2		1	dt			dt		1	ln	t 1		t 1	C	1		t 1	C


												ln				ln
												ln				ln
	3		2	t 1			t 1		3						3		t 1
	3		2	t 1			t 1		3						3		t 1
	1	ln			1 x3	1		C .
	1				1 x3	1
	3
					1 x3		1
					1 x3		1

§ 7. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях

Как мы видели в дифференциальном исчислении, производная элементарной функции есть функция элементарная. Другое дело операция, обратная дифференцированию – интегрирование. Можно привести многочисленные примеры таких элементарных функций, первообразные от которых хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Так, например, хотя

по теореме существования для функций e x2 ,	sin x	,	cos x	,	1	существуют
	x		x		ln x

первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря на это, все эти первообразные хорошо изучены и для них составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать эти функции.

Если первообразная для некоторой функции не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл не берется в элементарных функциях.

Для его исследования нужно применять специальные методы (или пользоваться уже готовыми таблицами).

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20182.4 Mб4LR_4.docx
#
23.08.2019283.11 Кб5LVDS.docx
#
17.03.2015417.95 Кб10lкодекс корпоративного поведени башнефть.pdf
#
17.03.20151.74 Mб433M-300-C_RUS.pdf
#
05.08.20195.94 Mб4matem.docx
#
17.03.20153.09 Mб51Matematika_1.pdf
#
04.12.2018318.46 Кб7material 2.doc
#
17.03.201523.58 Кб15materialka.docx
#
06.03.201618.45 Кб21materialoved.docx
#
07.12.2018243.71 Кб6Materialovedenie.doc
#
17.03.20153.56 Mб43Mathematics.Part 1.pdf