196
Вариант 6
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A( 9; 2) , |
B(3; 3) , C(6; 1) треугольника. Требуется |
найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. Даны две точки A(5; 0) и B(1; 4) . Найти отношение, в котором прямая x 2 y 3 0 делит отрезок AB .
3. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 5x 3y 10 0 , x y 15 0 и через начало координат.
4.Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точек A( 4; 3) и B(1; 2) . Сделать чертеж.
5.Составить уравнения высот треугольника, образованного асимптотами
гиперболы 4x2 9 y2 36 0 |
и прямой, проходящей через точки пересече- |
||
ния гиперболы с параболой 4x2 27 y 0 . Сделать чертеж. |
|||
6. Дано уравнение параболы |
y2 5x 6 y 4 0 . Сделать параллельный пе- |
||
ренос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение |
|||
параболы приняло вид x2 ay или |
y2 ax . Построить обе системы коор- |
||
динат и параболу. |
|
|
|
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений: |
|||
|
2x 3y 4z 3 0, |
||
|
|
3x 2 y 5z 1 0, |
|
|
|
||
|
|
3x 4 y z 1 0, |
|
|
|
||
а) |
используя правило Крамера; |
|
|
б) |
используя матричный метод; |
|
|
в) |
используя метод Гаусса. |
|
|
197 8. Даны векторы a {1; 7; 3}, b {3; 4; 2} , c {4; 8; 5}, d {7; 32; 14} в неко-
тором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (0; 7;1) , A2 (4;1;5) , A3 (4; 6;3) , A4 (3;9;8) пирамиды. Тре-
буется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
|
x4 6x2 5 |
; |
б) |
lim |
|
3x2 x |
14 |
; |
|||||
|
|
|
|
5x2 |
3x |
|
x2 8x |
12 |
|||||||
|
x 4x4 |
|
|
x 2 |
|
||||||||||
в) |
lim |
|
|
x 4 3 |
; |
|
г) |
lim |
cos x cos3 x |
; |
|||||
|
|
x 1 |
2 |
|
|
|
4x sin x |
|
|||||||
|
x 5 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|||||
д) |
|
x |
2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Функция y f (x) |
задана различными аналитическими выражениями для |
||||||||||||||
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
4 |
x , |
x 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Найти производные |
dy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y 3 |
(2x 3)(3 x)2 ; |
б) |
y |
|
4 |
|
|
; |
|
|||
|
cos2 |
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
y ln 2x 1 |
2x ; |
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
г) |
y x arctg x ln |
x2 1 ; |
||||||||||
д) |
y x x sin y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
198
4. Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
dx |
dx2 |
||||
|
|
|
x 3cos t,y 4sin 2 t.
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
|
а) |
y x |
arcsin x |
; |
|
|
|
|
|
б) |
y |
|
|
(x 1)3 2 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 7) 9 (x5 |
8)2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|
|||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
ln x |
; |
|
|
|
|
б) lim x 2x 1 x . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 0 1 2 ln sin x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
На линии |
y 2x3 2x2 3 |
найти точку, в которой касательная к этой |
|||||||||||||||||
линии перпендикулярна прямой |
6x 12 y 7 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
|||||||||||||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
y x4 8x3 16x2 ; |
|
|
|
|
б) |
y |
|
|
3x |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
|
|||||||||||||||||
|
а) |
y 3 |
x , x 7,64 ; |
|
|
|
|
б) |
y x11 , |
x 1,021. |
|
|||||||||
10. |
Найти частные производные |
дz , |
дz |
функции z z(x; y) : |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дx |
дy |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
а) |
z x |
y2 ; |
|
|
|
|
|
|
б) |
z arcctg |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
11. а) Найти производную сложной функции |
z f ( (t); (t)) : |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x; y) y tg(2x2 |
y) , |
(t) |
1 t , |
|
|
(t) t . |
|
|
||||||||
|
б) |
Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
сложной функции |
|
|
||||||||||||
|
дu |
дv |
|
|
||||||||||||||||
|
|
z f (u; v); (u; v) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f (x; y) arctg (xy) , |
(u; v) u2v , |
(u; v) vev . |
|
|
|
|
||||||||||||
199
12.Дана функция z x2 y2 2x y 1 и две точки A( 2; 4) и B(1,98; 3,91) . Требуется:
1)вычислить значение функции в точке B ;
2)вычислить приближенное значение z1 функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;
3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при
замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности
z x2 y2 2x y 1 в точке C(2; 4; z(2; 4)) .
Контрольная работа № 3
1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием:
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
б) |
x arcsin |
x |
dx ; |
|
||||
|
cos2 |
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
|
|
|
x 3 |
|
dx ; |
г) |
|
|
4 x 1 |
|
|
dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
x |
2 |
2x |
( |
x 4)4 |
x3 |
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл:
2
ln x dx .
x5
1
3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,
ограниченной полуэллипсом y 3 |
1 x2 , параболой x |
1 y и осью Oy . |
4.Вычислить длину дуги кривой:
2e , 
2 
2 .
5.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
z x2 9 y2 , |
z 3. |