48
§3. Плоскость
3.1Общее уравнение плоскости
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz .
Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость , для которой известны точка M0 (x0 ; y0 ; z0 ) , лежащая в плоскости, и вектор n A; B; C , перпендикулярный плоскости. Вектор n называется нормальным вектором плоскости. Положение плоскости в пространстве вполне определяется точкой M0 и вектором n (рис. 2.10).
z |
|
|
Действительно, пусть M (x; y ; z) |
||
|
|
произвольная точка плоскости . Оче- |
|||
|
|
|
видно, что |
точка |
M лежит в данной |
M 0 |
|
плоскости |
тогда и |
только тогда, когда |
|
|
n |
векторы M0 M и n перпендикулярны, а |
|||
|
|
M |
|||
|
|
значит их скалярное произведение равно |
|||
|
|
|
нулю: |
|
|
O |
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
M0 M n |
0 . |
(1) |
|
|
Т.к. |
x x0 ; y y0 ; z z0 , |
а |
||||
|
|
M0 M |
|||||
|
Рис. 2.10 |
n A; B; C , |
то из |
соотношения |
(1) |
||
получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 , |
|
|
(2) |
|||
которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Раскроем в уравнении (2) скобки и введем |
обозначение |
D ( Ax0 By0 Cz0 ) . Тогда уравнение (2) примет вид |
|
Ax By Cz D 0 . |
(3) |
Таким образом, каждая плоскость в пространстве может быть задана уравнением (3), т.е. уравнением первой степени относительно текущих координат x , y и z .
Обратно: очевидно, что в уравнении (3), по крайней мере, один из коэффициентов A , B , C не равен нулю. Предположим для определенности, что B 0 . Тогда уравнение (3) можно переписать следующим образом:
A(x 0) B( y D B) C(z 0) 0 . |
(4) |
Уравнение (4) равносильно уравнению (3) и определяет в пространстве
плоскость, проходящую через точку M1 (0; D B; 0) и перпендикулярную вектору n A; B; C .
Итак, можно сделать вывод, что всякое уравнение вида (3), т.е. уравнение первой степени относительно текущих координат x , y и z , определяет в
пространстве некоторую плоскость.
49
Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости.
3.2 Неполные уравнения плоскости
Общее уравнение плоскости (3) называется полным, если все его коэффициенты A , B , C , D отличны от нуля. В противном случае его называют
неполным.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.
1) |
D 0 ; уравнение Ax By Cz 0 определяет плоскость, проходя- |
||
щую через начало координат. |
|
|
|
2) |
A 0 ; уравнение By Cz D 0 |
определяет плоскость, |
параллель- |
ную оси Ox . Аналогично, уравнение |
Ax Cz D 0 ( B 0 ) |
определяет |
|
плоскость, параллельную оси Oy , а уравнение Ax By D 0 |
( C 0 ) – |
||
плоскость, параллельную оси Oz . |
|
|
|
3) |
A B 0 ; уравнение Cz D 0 определяет плоскость, параллельную |
||
плоскости Oxy . Аналогично, уравнение |
Ax D 0 ( B C 0 ) |
определяет |
|
плоскость, параллельную плоскости Oyz , а уравнение By D 0 |
( A C 0 ) |
||
–плоскость, параллельную плоскости Oxz .
4)A B D 0 ; уравнение Cz 0 определяет координатную плоскость Oxy . Аналогично, уравнение Ax 0 ( B C D 0 ) определяет координат-
ную плоскость Oyz , |
а уравнение |
|
By 0 |
( A C D 0 ) – координатную |
|||||||||||||||||
плоскость Oxz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3 |
Уравнения плоскости в отрезках |
|
||||||||||||||||||
|
Рассмотрим полное уравнение (3). Т.к. в таком уравнении ни один из |
||||||||||||||||||||
коэффициентов A , B , |
C , D не равен нулю, то его можно переписать в виде |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
1. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
D |
|
D |
|
D |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
Полагая |
для |
|
краткости D a , |
D b , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
c |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
c , получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
|
||
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
c |
|
||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
Уравнение |
(5) |
называется уравнением |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
плоскости в отрезках и удобно для построения |
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||
Рис. 2.11 |
|
плоскости (рис. 2.11). |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
50
3.4 Нормальное уравнение плоскости
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz
(рис. 2.12). Рассмотрим в пространстве неко- z торую плоскость , для которой заданы точка M0 (x0 ; y0 ; z0 ) , лежащая в плоскости, и нор-
мальный вектор n0 , удовлетворяющий услови-
M0 |
|
ям: |
n0 |
– единичный, т.е. |
|
n0 |
|
1; |
|
|
n0 |
|
1) |
|
|
|
|||||
|
2) |
n0 |
направлен от начала координат т. O |
|||||||
O |
y |
в сторону плоскости. |
вектор, |
то |
||||||
x |
|
Т.к. |
n0 |
– |
единичный |
|||||
|
n0 cos ; cos ; cos . Тогда из уравнения |
|||||||||
Рис. 2.12 |
|
|||||||||
|
(2) получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
(x x0 ) cos ( y y0 ) cos (z z0 ) cos 0 . |
|
|
||||||||
Последнее уравнение можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x cos y cos z cos p 0 , |
|
(6) |
|||||||
где p x0 cos y0 cos z0 cos .
Уравнение (6) называется нормальным или нормированным уравнением плоскости. Значение p равно расстоянию от начала координат т.O до плос-
кости.
Замечание. Для |
того, |
чтобы |
общее |
уравнение |
плоскости |
||
Ax By Cz D 0 |
привести к нормальному виду (6), необходимо умно- |
||||||
жить его почленно на нормирующий множитель |
1 |
|
. Знак |
||||
A2 B2 |
C2 |
||||||
нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена D .
3.5Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности
ипараллельности двух плоскостей
Рассмотрим две плоскости и , заданные соответственно уравнениями
A1x B1 y C1z D1 0 и |
A2 x B2 y C2 z D2 0 . |
Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями (рис. 2.131). Угол между нор-
мальными векторами данных плоскостей n и n , очевидно, равен одному из
указанных смежных двугранных углов. Поэтому косинус угла между плоскостями и определяется формулой