188
5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций (ось вращения – ось Ox ):
y 3sin x, |
y sin x , |
0 x . |
Вариант 4
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A( 14; 6) , |
B( 2; 1) , C(1; 5) треугольника. Требуется |
найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. Найти координаты точки, симметричной точке A( 5; 2) относительно
прямой 4x 3y 5 |
0 . |
|
3. Найти прямую, |
проходящую через точку пересечения прямых |
|
x 6 y 5 0 , 3x 2 y 1 0 |
и через точку M ( 4 5; 1) . |
|
4.Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма квадратов
еерасстояний от начала координат и от точки A(0; 4) равна 16. Сделать
чертеж.
5. Найти расстояние точки гиперболы 9x2 16 y2 144 , ордината которой
равна 1,5
5 , а абсцисса отрицательна, до фокусов и асимптот гиперболы. Сделать чертеж.
6. Дано уравнение параболы y2 x 4 y 2 0 . Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение
параболы приняло вид x2 ay или |
y2 ax . Построить обе системы коор- |
динат и параболу. |
|
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
2x 4 y 3z 1 0,
x 2 y 4z 3 0,3x y 5z 2 0,
189
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
8. Даны векторы a {10; 3; 1}, b {1; 4; 2}, c {3; 9; 2} , d {19; 30; 7} в не-
котором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (2; 4;3) , A2 (7; 6;3) , A3 (4;9;3) , A4 (3; 6; 7) пирамиды. Тре-
буется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
6x5 4x2 5x |
; |
б) |
lim |
3x2 14x |
5 |
; |
||||
|
x5 |
2x2 |
3 |
x2 7x 10 |
||||||||
|
x |
|
|
|
x 5 |
|
||||||
в) |
lim |
|
2x 1 3 |
; |
|
г) |
lim tg x sin x ; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 4 |
|
x 2 |
2 |
|
|
|
x 0 |
x2 sin x |
|
|
|
д) |
lim |
x 4 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Функция y f (x) |
задана различными аналитическими выражениями для |
|||||||||||
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
|
2 |
4, |
x 1; |
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|||||
y 3x, |
1 x 3; |
|
|
||||||
5, |
|
|
x 3. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производные |
dy |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
dx |
|
а) |
y |
|
|
|
x2 6 ; |
б) y 3 tg 6x 1; |
|||
|
x 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
190
в) |
y ln |
1 e2 x |
ex ; |
г) y |
4 x2 |
arcsin |
x |
; |
|||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
д) |
y x2 |
arctg y . |
|
|
|
|
|
||||
4. Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
||||||
dx |
dx2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y cost. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
а) y ctg3x 2ex ; |
б) y |
(x5 1)3 5 1 x8 3 . |
|
|
6x15 |
6. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:
|
а) |
lim |
ln x |
|
( n 0 ); |
|
б) |
lim arcsin x ctg x . |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x xn |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|||
7. |
На линии |
|
y x3 3x2 6x 17 |
найти точку, в которой касательная к |
||||||||
этой линии перпендикулярна прямой |
5x 15y 8 0 . |
|
||||||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
|||||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) |
y 2x3 3x2 12x 5 ; |
|
б) |
y |
x2 16 |
. |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
||||||||||
|
а) |
y 3 |
x , |
x 26,46 ; |
|
б) |
y |
1 x sin x , |
x 0,01. |
|||
10. |
Найти частные производные дz , |
дz |
функции z z(x; y) : |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
дx |
дy |
|
|
|
|
|
|
а) |
z arctg (xy) ; |
|
б) |
z |
x2 y2 . |
|
|||||
11. а) Найти производную сложной функции |
z |
f ( (t); (t)) : |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x; y) (x2 y2 ) exy , |
(t) t 2 , |
(t) 2t . |
|
|||
3
2 
2 .