19.9 Производная степенно-показательной функции

19.10 Дифференцирование неявной функции

19.11 Производные высших порядков

19.12 Правила Лопиталя

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

103

Определение. Функция вида
y f (x) g ( x) ,	f (x) 0 ,

где и основание, и показатель изменяются вместе с независимой переменной,

называется степенно-показательной.

Найдем ее производную y .

1) Прологарифмируем данную функцию:

ln y ln f (x) g ( x) g(x) ln f (x) .

2) Продифференцируем полученное тождество. С одной стороны:

ln y 1y y .

С другой стороны:

g(x) ln f (x) g (x) ln f (x)

g(x)

f (x) .

f (x)

Следовательно:

y y

f (x)

g (x) ln f (x) g(x)

(x)

g(x)

y (x) y g (x) ln f (x)

f (x)

g ( x)

g(x)

f (x)

g (x) ln f (x)

(x) .

f (x)

Операция, состоящая в последовательном применении к функции f (x)

сначала логарифмирования (по основанию e ), а затем дифференцирования,

называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат

		f (x)
ln	f (x)
ln	f (x)	f (x)

– логарифмической производной от функции f (x) .

Пример 3. y sin x x . Найти y .

Решение.

1)ln y(x) ln(sin x)x x ln sin x .

2)С одной стороны: ln y(x) 1y y ;

104

Определение. Неявной функцией y независимой переменной x на-

зывается функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего x и y и не разрешенного относительно y .

Уравнение функции, заданной неявно, имеет вид
F(x; y) 0 .	(3)

Пусть функция задана неявно уравнением (3). Тогда производную от этой функции можно найти, дифференцируя по x обе части уравнения с учетом того, что y есть функция от x (определяемая этим уравнением).

Пример 4. Дана функция x cos y x	2	arcsin y 1 0
			. Найти y (x) .

Решение. Функция задана неявно. Дифференцируем обе части уравнения по x :

x cos y x (cos y)x (x2 ) arcsin y x2 (arcsin y)x 0 ,

1 cos y x ( sin y) y

2x arcsin y x

y 0 ,

1 y2

отсюда

y cos y 2x arcsin y

cos y 2 y arcsin y .

x sin y

1 y2

Допустим, что функция y f (x) имеет производную f (x) в некотором интервале независимой переменной x . Производная от f (x) (если она

существует) называется производной второго порядка или второй производ-

ной от первоначальной функции f (x) и обозначается f (x) :

			f	(x x) f	(x)
f (x) f	(x)	lim				.
f (x) f	(x)	lim		x		.
		x 0		x

Таким же образом производной третьего порядка или третьей производной

	называется производная от производной второго
f (x) от функции y f (x)	называется производная от производной второго
порядка.
Определение. Производной n -го порядка f (n) (x)						называется произ-
водная от производной (n 1) -го порядка
		f	(n 1)	(x x) f	(n 1)		(x)
f (n) (x) f (n 1)	(x) lim	f		(x x) f			(x)	.
f (n) (x) f (n 1)	(x) lim			x				.
	x 0			x

Все свойства, которые имеют место для первой производной функции, сохраняются и для второй производной и для производной n -го порядка.

105

Пример 5.

y xn ,

y n xn 1 ,

y n (n 1) xn 2 , …,

y(k ) n (n 1) ... (n k 1) xn k .

С другой стороны:

x ln sin x

x ln sin x x ln sin x

ln sin x x

cos x ln sin x x ctg x .

y (sin x)x ln sin x x ctg x .

Следовательно,

Рассмотрим способ раскрытия основных неопределенностей вида 00 и

, основанный на применении производных.

Теорема 1 (Правило раскрытия неопределенностей вида

0 ).

Пусть функции f (x) и g(x)

непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0 и обращаются

нуль в

этой

точке: f (x0 ) g(x0 ) 0 . Пусть

(x)

g (x) 0 в окрестности точки x0 . Если существует предел lim

, то

(x)

f (x)

x x0

lim

g(x)

x x0

g (x)

Замечание 1. Теорема 1 верна и в том случае, когда функции

f (x) и g(x)

не определены при x x0

, но lim f (x) 0

и lim g(x) 0 . Достаточно поло-

x x0

жить f (x0 ) lim f (x) 0

и g(x0 ) lim g(x) 0 .

x x0

Замечание 2. Теорема 1 справедлива и в том случае, когда x .

Замечание 3. Если производные f (x) и g (x) удовлетворяют тем же условиям что и функции f (x) и g(x) , теорему 1 можно применить еще раз:

lim

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

g(x)

Пример 6.

x x0

g (x)

x x0

g (x)

lim ln(1 x)

lim (ln(1 x)) lim

1 x

x 0

Пример 7.

x x cos x

(x x cos x) lim 1 cos x x sin x

lim

x 0 x sin x

x 0

(x sin x)

x 0

1 cos x

lim (1 cos x x sin x)

lim 2 sin x x cos x

lim

x 0

(1 cos x)

x 0

sin x

x 0

tg x

106

2 lim

2 lim cos2 x 2 1 3 .

tg x

(tg x)

x 0

Теорема 2 (Правило раскрытия неопределенностей вида ).

Пусть функции f (x)

и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0

(кроме,

может

быть,

точки

x0 ),

этой

окрестности

f (x)

, то

lim f (x) lim g(x) , g (x) 0 . Если существует предел lim

g (x)

x x0

f (x)

x x0

lim

x x0

g(x)

x x0

g (x)

Замечание 4.

Теорема 2 справедлива и в том случае, когда x .

Пример 8.

tg x

(tg x)

1 cos2 3x

1 cos 6x

lim

(tg 3x)

cos2

x 3

x tg 3x

1 cos 2x

1 lim

6 sin 6x

lim sin 6x

1 lim (1 cos 6x)

x 2

(1 cos 2x)

3 x 2

2 sin 2x

x 2

sin 2x

lim

(sin 6x) lim

6 cos 6x

(sin 2x)

2 cos 2x

Неопределенности вида 0 , , 1 , 0 , 00 сводятся к двум основным неопределенностям путем тождественных преобразований.

● Пусть f (x) 0 , g(x) при

x x0 . Тогда очевидны следую-

щие преобразования:

lim f (x) g(x)

lim

f (x)

x x0

g(x)

или

lim f (x) g(x)

lim

g(x)

x x0

f (x)

Пример 9.

lim x2 ln x

lim

ln x

lim

(ln x)

lim

1 x

1 x2

(1 x2 )

2 x3

x 0

107

1 lim x2 0 . 2 x 0

●Пусть f (x) , g(x) при x x0 . Тогда очевидны следую-

щие преобразования:

					1		1
		1	1					0
					g(x)		f (x)
lim f (x) g(x)	lim			lim					.

		1	1		1		1
x x0	x x0			x x0				0
x x0	x x0			x x0				0

		f (x)				f (x) g(x)
		f (x)	g(x)			f (x) g(x)

Пример 10.

lim

ex 1 x

lim

ex 1

x(ex 1)

x 0 x

x 0

0	lim	(e	x	1 x)


0		(x(ex 1))
	x 0

lim

1 .

(ex 1 xex )

2 x

x 0 ex 1 xex

x 0

x 0 ex (2 x)

x 0

●

Пусть

f (x) 1

g(x) ,

или

f (x) и

g(x) 0 ,

или

f (x) 0

g(x) 0

при

x x0 .

Для

нахождения

пределов

вида

lim f (x)g ( x) удобно сначала прологарифмировать выражение A f (x)g ( x) .

x x0

Пример 11. Найти lim(sin x)x .

x 0

Решение. Имеем неопределенность вида 00 . Логарифмируем выражение A (sin x)x , получим:

ln A ln(sin x)x x ln sin x .

Найдем предел:

lim ln sin x

(ln sin x)

lim ln A lim(x ln sin x)

lim

x 0

1 x

x 0

(1 x)

x2 cos x

cos sin x

lim

1 x2

lim

lim x cos x

0 .

sin x

x 0

sin x

Получили lim ln A 0 , следовательно, ln lim A 0 , отсюда lim A e0

x 0

●Решение можно оформить короче, если воспользоваться формулой

lim f (x)g ( x)		lim	g ( x)ln f ( x)	.
lim f (x)g ( x)		ex x0		.
x x0
1	tg x
Пример 12. Найти lim	.
x 0 x

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20182.4 Mб4LR_4.docx
#
23.08.2019283.11 Кб5LVDS.docx
#
17.03.2015417.95 Кб10lкодекс корпоративного поведени башнефть.pdf
#
17.03.20151.74 Mб433M-300-C_RUS.pdf
#
05.08.20195.94 Mб4matem.docx
#
17.03.20153.09 Mб51Matematika_1.pdf
#
04.12.2018318.46 Кб7material 2.doc
#
17.03.201523.58 Кб15materialka.docx
#
06.03.201618.45 Кб21materialoved.docx
#
07.12.2018243.71 Кб6Materialovedenie.doc
#
17.03.20153.56 Mб43Mathematics.Part 1.pdf