176
93.Вычисление длины дуги в Декартовых координатах.
94.Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями. Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат.
95.Вычисление объема тела с помощью определенного интеграла.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 1
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A(4; 1) , B(0; 2) , |
C( 5; 10) треугольника. Требуется |
найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. |
Даны уравнения двух сторон параллелограмма x y 1 0 , |
x 2 y 1 0 |
|
и точка |
P(2; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух |
||
других сторон параллелограмма. |
|
||
3. |
На |
оси абсцисс найти точку, расстояние которой |
от прямой |
8x 15y 10 0 равно 1. |
|
||
4.Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки C(0; 4) и от прямой y 2 0 . Сделать чертеж.
5.Составить уравнение гиперболы и ее асимптот, если известно, что гипербола симметрична относительно осей координат, один из ее фокусов совпа-
дает с центром окружности |
x2 y2 |
20 y 19 0 , |
а эксцентриситет равен |
1,25. Сделать чертеж. |
|
|
|
6. Дано уравнение параболы |
x2 10x 4 y 33 0 |
. Сделать параллельный |
|
перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне- |
|||
ние параболы приняло вид x2 ay |
или y2 ax . |
Построить обе системы |
|
координат и параболу. |
|
|
|
177
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
2x 3y z 2 0,
x 5 y 4z 5 0,4x y 3z 4 0,
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
8. |
Даны векторы a {1; 2; 3}, b { 1; 3; 2}, |
c {7; 3; 5}, d {6; 10; 17} в |
некотором базисе. Показать, что векторы a , |
b , c образуют базис, и найти |
|
координаты вектора d в этом базисе. |
|
|
9. |
Даны вершины A1 (3;1; 4) , A2 ( 1; 6;1) , A3 ( 1;1; 6) , A4 (0; 4; 1) пирамиды. |
|
Требуется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
4x6 x 5 |
|
; |
|
б) |
lim |
x2 9 |
|
|
; |
||
|
3x2 1 |
|
3x2 8x |
3 |
|||||||||
|
x x6 |
|
|
|
x 3 |
|
|||||||
в) |
lim |
|
x2 2 2 |
; |
г) |
lim |
1 cos 6x |
; |
|
|
|||
|
|
x2 1 1 |
|
7x sin 3x |
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
||||
д) lim x ln(3x 1) ln(3x 2) .
x
2. Функция y f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
x , |
x ; |
|
x 0; |
y sin x, |
|
|
x 0. |
3 2x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
178 |
3. |
Найти производные |
dy |
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
; |
б) |
y 3 tg2 3x ; |
|
|
||
|
|
|
3 9x 4 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 10 |
|
|
|
|
|||||||||
|
в) |
y ln |
5 |
|
10 |
|
|
; |
|
|
г) |
y 1 arccos |
7 |
; |
||||||
|
e5x e 5x |
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
||||||
|
д) |
xsin 2 y y cos 2x 10 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
Найти |
dy |
и |
d 2 y |
|
для функции, заданной параметрически: |
||||||||||||||
dx |
dx2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Продифференцировать данные функции, |
используя правило логарифми- |
||||||||||||||||||
ческого дифференцирования: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) |
y sin |
x ln sin |
x ; |
|
|
б) |
y (x 2)3 4 |
x 2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 (x 3)2 |
||
6. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
x3 3x2 |
2 |
; |
|
|
|
б) |
lim x ctg x . |
|
|||||||||
|
x3 4x2 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||
7. |
На линии |
y 4x2 20x 22 |
найти точку, в которой касательная к этой |
|||||||||||||||||
линии параллельна прямой 12x 3y 25 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
8. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4x 1 |
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) |
y 3 |
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
|
б) |
y 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
||||||||||||||||
|
а) |
y 3 x3 |
|
7x , |
|
x 1,012 ; |
|
|
б) |
y x5 , |
|
x 2,997 . |
||||||
10. |
Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
функции z z(x; y) : |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дx |
|
дy |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
z 2x2 |
xy ; |
|
|
|
|
|
б) |
z arctg (x2 y2 ) . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
179 |
11. |
а) Найти производную сложной функции |
z f ( (t); (t)) : |
|||||
|
f (x; y) |
x2 xy , |
(t) sin t , |
(t) et . |
|||
|
б) Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
сложной функции |
||
|
|
дv |
|||||
|
z f (u; v); (u; v) : |
дu |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x; y) xy2 yx3 , |
(u; v) u sin v , |
(u; v) u cos v . |
||||
12. |
Дана функция z x2 |
xy y2 |
и |
две |
точки A(1; 2) и B(1,02; 1,96) . |
||
|
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
1)вычислить значение функции в точке B ;
2)вычислить приближенное значение z1 функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;
3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при
замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности
z x2 xy y2 в точке C(1; 2; z(1; 2)) .
Контрольная работа № 3
1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием:
а) |
|
2 |
x sin 2x dx ; |
б) |
|
|
x dx ; |
|||
esin |
arctg |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
dx |
|
; |
г) |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 1 |
x |
||||||
|
x3 8 |
|
|
1 |
|
|||||
2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл:
1 |
|
dx |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
4x 5 |
||
x2 |
|
||
0 |
|
|
|
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y 3x2 1 и прямой y 3x 7 .
4.Вычислить длину дуги кривой: