натами.

a ax i ay j az

k , b bx i by j bz k .

Пусть

Тогда

a ax i ay j az k ,

a b a

x

b

i a

y

b

y

j

a

z

b

k .

x

z

Пример.

Пусть

a 5i 10 j 3k ,

b 4i 2 j 8k .

2

2

2

2

a

2 ax2 a2y az2

OM

OM1

OM 2

OM 3

z

Пусть вектор a образует с координатны-

ми осями Ox ,

Oy и Oz углы , , соответ-

a

ственно (рис.

1.15). Эти три угла

однозначно

определяют направление вектора a

в простран-

O

y

стве, поэтому косинусы этих углов

cos , cos ,

cos называют направляющими

косинусами

вектора a .

a ax i ay j az k . Тогда из

x

Рис. 1.15

Пусть

теоремы 1 о проекциях

ax прOxa

a

cos ,

ay прOy a

a

cos ,

az прOza

a

cos .

z

Отсюда

M1

M 2

M1M 2

(M1; M 2 )

(x

2

x )2

( y

2

y )2

(z

2

z )2 .

O

1

1

1

y

Определение. Пусть

дан

отрезок

AB ,

точка

M , лежащая на данном отрезке и число

x

Рис. 1.17

0 . Если имеет место соотношение

AM

,

MB

то говорят, что точка M делит отрезок AB в отношении .

Задача 2.

Даны две точки

A(xA; yA; zA ) , B(xB ; yB ; zB )

и число 0 .

Найти координаты точки M , делящей отрезок AB в отношении .

A

Решение.

Обозначим искомые координаты точки

M

M через x , y , z . Построим векторы AM и

MB

(рис.

1.18).

Тогда

координаты

этих

векторов

(задача 1):

B

AM x

xA; y yA; z zA ,

z .

Т.к.

Рис. 1.18

MB xB x ; yB y ; zB

AM и векторы AM и

MB сонаправлены, то AM MB . Отсюда

MB

получаем соотношения:

x xA (xB x) ,

y yA ( yB y) ,

z zA (zB z) .

Тогда искомые координаты точки M равны

x

xA xB

,

y

yA yB

,

z

zA zB

.

(7)

1

1

1

x

xA xB

,

y

yA yB

,

z

zA zB

.

2

2

2