153
Глава V ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции
Рассмотрим функцию f (x) – непрерывную и положительную на отрезке [a ; b ] . Часть плоскости, ограниченная графиком функции y f (x) , осью
Ox и вертикальными прямыми x a и x b , называется криволинейной трапецией. Найдем площадь данной трапеции.
Разобьем отрезок [a ; b ] на n частей с помощью точек x0 a x1 x2 ... xn 1 xn b . Проведя через точки деления прямые, параллельные оси Oy , мы разобьем данную криволинейную трапецию на n
малых криволинейных трапеций (рис. 5.1). Ясно, что площадь всей криволинейной трапеции равна сумме всех n малых криволинейных трапеций:
n |
|
S S1 S2 ... Sn Si . |
(1) |
i 1
y
f ( i )
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
O |
a |
|
|
|
i |
x |
i |
|
b |
x |
|||||
|
|
1 |
i |
1 |
|
|
|
|
n 1 |
||||||
Рис. 5.1
Но вычислить площадь этих малых трапеций так же трудно, как и площадь большой. Поступим следующим образом: в каждом из малых отрезков разбиения [ xi 1; xi ] ( i 1, 2, ..., n ) выберем произвольную точку xi 1 i xi
и построим в этой точке ординату кривой f ( i ) .
Заменим теперь каждую малую криволинейную трапецию с основанием [ xi 1; xi ] прямоугольником с тем же основанием и с высотой, равной
f ( i ) . Площадь такого прямоугольника равна f ( i ) (xi xi 1 ) .
Приняв площадь этого прямоугольника за приближенное значение площади малой криволинейной трапеции, получим:
Si f ( i ) (xi xi 1 ) . |
(2) |
Отсюда для площади данной криволинейной трапеции S имеем приближенное равенство:
|
|
154 |
|
n |
|
S |
f ( 1 ) (x1 x0 ) ... f ( n ) (xn xn 1 ) f ( i ) (xi xi 1 ) |
(3) |
i 1
Обозначим через наибольшую из длин отрезков разбиения:
max (x1 x0 ); (x2 x1 ); ...; (xn xn 1 ) .
Суменьшением точность приближенной формулы (3) увеличивает-
ся. Поэтому естественно за точное значение площади S принять предел сумм
(3) при условии, что наибольшая длина отрезков разбиения 0 . Таким образом,
|
n |
|
n |
|
S lim |
f ( i ) (xi xi 1 ) lim |
f ( i ) xi . |
(4) |
|
0 |
i 1 |
0 |
i 1 |
|
|
|
|
||
§ 2. Понятие определенного интеграла |
|
|||
Пусть на отрезке [ a ; b ] |
задана функция |
f (x) . Выполним следующие |
||
действия: |
|
|
|
|
1) |
с помощью точек деления x0 a x1 x2 |
... xn 1 xn b разобьем |
|
отрезок [ a ; b ] на n частей: |
|
|
[ x0 ; x1 ]; [ x1 ; x2 ]; …; [ xi 1 ; xi ]; …; [ xn 1 ; xn ]; |
|
2) |
в каждом из отрезков разбиения [ xi 1 ; xi |
], i 1,..., n выберем произ- |
|
вольную точку xi 1 i xi и умножим значение функции в этой точ- |
|
|
ке f ( i ) на xi xi xi 1 – длину отрезка; |
|
3) |
составим сумму всех таких произведений |
|
n |
|
Sn f ( i ) xi , |
(5) |
i 1
которую назовем интегральной суммой;
4)назовем наибольшую из длин отрезков разбиения [ xi 1 ; xi ] шагом разбиения и обозначим через .
Пусть число отрезков разбиения n неограниченно растет и при этом стремится к 0. Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел J , кото-
рый не зависит ни от способа разбиения [ a ; b ] на малые отрезки, ни от выбора точек i в каждом из них, то это число называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается
b
f (x) dx .
a
Читается: определенный интеграл от a до b от f (x) на dx .
Здесь: a – нижняя граница (предел) интегрирования, b – верхняя граница (предел) интегрирования,
--------------------------------------------------
© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2014
155
f (x) – подынтегральная функция,
x – переменная интегрирования,
[ a ; b ] – отрезок (область) интегрирования.
Замечание 1. Для заданной функции и заданного отрезка [ a ; b ] мы, оче-
видно, имеем бесконечное множество интегральных сумм. Значения этих интегральных сумм зависят как от выбора точек деления x1 , x2 , …, xn 1 , так и
от выбора промежуточных точек i .
Замечание 2. Интегральная сумма, очевидно, не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции. Следовательно, и ее предел, т.е. определенный интеграл, не зависит от обозначения переменной интегрирования:
b |
b |
b |
|
|
|
f (x) dx f (z) dz f (t) dt . |
||
|
|
|
a |
a |
a |
Замечание 3. Выше мы установили тот факт, что определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, построенной на отрезке интегрирования (геометрический смысл определенного интеграла).
При определении определенного интеграла мы исходили из предположения a b . При a b положим:
b |
a |
a |
|
|
|
f (x) dx f (x) dx , |
f (x) dx 0 . |
|
|
|
|
a |
b |
a |
В связи с определением определенного интеграла возникает вопрос, при каких условиях существует предел интегральной суммы, т.е. существует определенный интеграл.
Теорема (условие существования определенного интеграла).
Всякая непрерывная на отрезке [ a ; b ] функция интегрируема, т.е. для такой функции существует определенный интеграл.
§3. Свойства определенного интеграла
1.Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:
|
b |
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ f (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
Доказательство. |
|
|
|
||
b |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|||
[ f (x) g(x)]dx lim |
[ f ( i ) g( i |
)] xi lim [ f ( i ) xi g( i ) xi ] |
|||
|
|||||
|
|
0 i 1 |
0 i 1 |
||
a
156
lim |
n |
n |
|
lim |
n |
f ( i ) xi g( i ) xi |
|
||||
0 |
i 1 |
i 1 |
|
0 i 1 |
|
b |
|
b |
|
|
|
f (x) dx g(x) dx .
a |
a |
n
f ( i ) xi lim g( i ) xi
0 i 1
2.Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак интеграла:
b
k
a
Доказательство.
b
f (x) dx k f (x) dx .
a
b |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
lim |
f ( i ) xi lim |
|
|
|||||
k f (x) dx |
k |
k f ( i ) xi |
|
|||||||
|
|
0 i 1 |
|
0 |
|
i 1 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
k lim |
|
|
f (x) dx . |
|
|
|
|
|
||
f ( i ) xi |
k |
|
|
|
|
|
||||
0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
3. Если область интегрирования [ a ; b ] разбить на две части [ a ; c ] и [ c; b ], то
b |
c |
b |
|
|
|
|
(6) |
f (x) dx f (x) dx f (x) dx . |
|||
|
|
|
|
a |
a |
c |
|
Доказательство.
а) Пусть a c b .
Т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения [ a ; b ] и выбора i , положим xk c . Тогда
|
n |
k |
|
n |
|
|
|
f ( i ) xi f ( i ) xi f ( i |
) xi . |
||||
Отсюда |
i 1 |
i 1 |
i k 1 |
|
|
|
n |
|
k |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
f ( i |
) xi lim |
f ( i ) xi lim |
f ( i ) xi , |
||
0 |
i 1 |
0 |
i 1 |
0 |
i k |
1 |
или |
|
|
||||
b |
|
c |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx f (x) dx f (x) dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
c |
|
|
б) Формула (6) справедлива и в том случае, когда c [a ; b]. Пусть, например, c a b .
157
|
b |
a |
b |
|
|
Тогда |
|
a) |
|
|
|
f (x) dx f (x) dx f (x) dx . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
c |
a |
|
|
b |
b |
a |
b |
c |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx |
f (x) dx f (x) dx f (x) dx f (x) dx . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
c |
c |
c |
a |
|
|
|||||
|
|
b |
|
|
|
4. Если f (x) 0 |
|
|
|
|
|
на [a ; b], то f (x) dx 0 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Т.к. |
a |
|
|
|
|
f ( i ) 0 и xi 0 для любого i , то |
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
Sn |
f ( i ) xi |
|
J lim Sn 0 . |
|
|
|
i 1 |
|
0 |
|
|
|
b |
|
b |
|
5.Если f (x) g(x) на [a ; b], то f (x) dx g(x) dx .
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
Доказательство. |
По условию, |
f (x) g(x) на [a ; b], следовательно, |
|||||||
f (x) g(x) 0 на [a ; b], следовательно (по свойству 4), |
|||||||||
b |
св.1,2 |
b |
b |
|
|
b |
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
[ f (x) g(x)]dx |
f (x) dx g(x) dx 0 |
f (x) dx g(x) dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
a |
a |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||
6. Теорема (о среднем значении). |
[a ; b] функция, то |
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
Если f (x) – |
непрерывная |
на |
существует точка |
||||||
c [a ; b] такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (c) (b a) . |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
M max f (x) . Тогда для |
Доказательство. Обозначим m min f (x) , |
|
x [a;b] |
x [a;b] |
любого a x b выполняется m f (x) M . По свойству 5 имеем:
b |
b |
|
|
m dx f (x) |
|
|
|
a |
a |
b
dx lim S ;
0 n
b |
|
b |
b |
b |
|
св.1 |
|
|
|
dx M dx |
|
m |
dx f (x) dx M dx . |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
a |
a |
Sn 1 x1 1 x2 ... 1 xn
a
158
(x1 a) (x2 x1 ) ... (xn 1 xn 2 ) (b xn 1 ) b a |
|
b
dx lim(b a) b a .0
a
Имеем
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
f (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||
m(b a) f (x) dx M (b |
a) , или |
m |
M . |
||||
b a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
Число |
|
(b a) |
является |
промежуточным между наи- |
|||
f (x) dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
меньшим значением m функции f (x) и ее наибольшим значением M . По свойству непрерывных на [a ; b] функций f (x) принимает все свои промежуточные значения, т.е. существует c [a ; b] такое, что f (c) . Тогда
b
f (x) dx f (c) (b a) .
a
§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
Пусть y f (x) – функция, непрерывная на [a ; b]. Рассмотрим инте-
b
грал f (x) dx . При заданной подынтегральной функции значение интеграла
a
зависит от обеих границ интегрирования a и b . Если закрепить нижнюю границу a и изменять верхнюю границу b , то интеграл будет функцией своей верхней границы. Чтобы подчеркнуть, что верхняя граница переменная, обозначим ее через x . Переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхней границей, обозначим через t . Как мы уже говорили ранее, интеграл не зависит от того как обозначается переменная интегрирования. Таким образом, интеграл с переменной верхней границей является некоторой функцией x :
x
J (x) f (t) dt .
a
Теорема. Производная интеграла J (x) по переменной верхней грани-
це равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей, т.е.