Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4631 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Matematika_1.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
3.09 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

42

Замечание. Говорят, что линия является линией 1-го или 2-го порядка, если она описывается алгебраическим уравнением 1-го или соответственно – 2-го порядка.

§2. Прямая на плоскости

2.1Общее уравнение прямой и его исследование

Выведем уравнение прямой линии в Декартовой системе координат. Рассмотрим на плоскости произвольную прямую l . Пусть даны некоторая ее

точка M0 (x0 ; y0 )

и вектор N A; B , N l (рис. 2.2). Этот вектор называ-

ется нормальным вектором прямой l .

 

Точка M0

и вектор N полностью определяют положение прямой l на

плоскости xOy .

 

 

Пусть M ( x ; y) – любая точка прямой

y

 

 

 

 

l . M0 M x x0 ; y y0 . По

условию

 

 

 

M

 

 

N l . Поэтому

 

 

N

 

N M0 M 0 .

(1)

M0

 

Уравнение (1) называется векторным урав-

O

 

x

нением прямой l .

 

 

Выражая скалярное произведение век-

 

 

 

Рис. 2.2

 

 

 

 

торов N и M0 M в соотношении (1) в коор-

динатном виде, получим

 

 

 

 

 

 

 

A(x x0 ) B( y y0 ) 0 .

(2)

Полученное уравнение является уравнением прямой l , т.к. координаты лю-

бой точки M l удовлетворяют ему, а если точка плоскости M1 ( x1; y1 )

не

лежит на прямой l , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (2),

т.к.

 

 

вектор M0 M1 в этом случае не перпендикулярен вектору N .

 

Формула (2) – уравнение прямой, проходящей через данную точку пер-

пендикулярно заданному вектору.

 

Раскроем скобки в уравнении (2). Получим

 

Ax By C 0 ,

(3)

где C Ax0 By0 .

 

Уравнение прямой в плоскости xOy является уравнением первой степени относительно x и y .

Покажем и обратное, что любое уравнение 1-й степени Ax By C 0 есть уравнение некоторой прямой, лежащей в плоскости xOy .

43

Действительно, в уравнении (3) A 0 или B 0 (иначе C 0 ). Пусть например, B 0. Тогда (3) можно записать в виде

A(x 0) B( y CB) 0 – уравнение прямой, проходящей через точку (0; CB) , перпендикулярно вектору N A; B .

Итак, любое уравнение 1-й степени определяет на плоскости прямую.

Определение. Уравнение (3) называют общим уравнением прямой на плоскости.

Коэффициенты A , B , C позволяют определить положение прямой на плоскости.

Если C 0 , прямая проходит через начало координат.

Если A 0 , прямая параллельна оси Ox , если B 0 , прямая параллельна оси Oy .

2.2 Направляющий вектор прямой. Каноническое уравнение прямой

Рассмотрим на плоскости xOy произвольную прямую l (рис. 2.3). Ее

y

 

 

положение полностью определяется задани-

 

 

ем какой-либо ее точки M0 (x0 ; y0 ) и вектора

 

 

 

s m; n , параллельного этой прямой, или

M

s

 

лежащего на ней. Вектор s

называется на-

 

 

 

правляющим вектором прямой l .

 

M0

 

Пусть M ( x ; y) – произвольная точка

 

 

 

 

 

 

 

O

 

x

прямой l . Тогда вектор M

0 M коллинеарен

 

вектору s и значит имеем уравнение

 

 

 

 

Рис. 2.3

 

 

x x0

 

y y0

.

(4)

 

 

 

m

n

 

 

 

 

Уравнение (4) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

2.3Уравнение прямой, проходящей через данную точку

взаданном направлении. Пучок прямых

Пусть дана прямая l , принадлежащая плоскости xOy , пересекающая ось Ox в точке A (рис. 2.4).

y

 

l

Углом между осью Ox и прямой l

 

называют наименьший угол, на который

 

 

 

нужно повернуть вокруг точки A против ча-

 

 

 

совой стрелки ось Ox до совпадения ее с

 

 

прямой. Если прямая параллельна оси Ox

O

A

x

или совпадает с ней, то 0 .

Рис. 2.4

44

Рассмотрим прямую l , принадлежащую плоскости xOy , непараллельную оси Oy . Ее положение вполне определяется заданием угла между

осью Ox и прямой l и точки M0 (x0 ; y0 ) , лежащей на прямой. В качестве на-

правляющего вектора s возьмем единичный вектор

s cos i cos j .

Т.к. cos cos(90 ) sin , то s cos ; sin .

 

Имеем

 

 

 

 

 

x x0

 

y y0

– каноническое уравнение прямой l .

 

cos

 

 

 

sin

 

Отсюда

 

 

 

 

 

y y0

tg (x x0 ) , или

 

 

y y0

k ( x x0 ) .

(5)

Формула (5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

k – угловой коэффициент прямой l .

Замечание. Если прямая l параллельна оси Oy ( 90 ), то для нее угло-

вой коэффициент не определен и уравнение прямой не может быть записано в виде (5).

Определение. Множество всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку M0 этой плоскости, называется пучком прямых, а

точка M0 – центром пучка.

Уравнение (5), в котором k принимает всевозможные значения, определяет пучок прямых с центром в точке M0 (x0 ; y0 ) за исключением прямой

x x0 .

2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть точки M0 (x0 ; y0 ) и M1 ( x1; y1 ) лежат на прямой l . Тогда можно

определить прямую l . Действительно,

пусть s

M

 

 

x x

; y y

 

.

0

M

1

0

Тогда имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

y y0

.

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

0

 

y

y

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (6) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

2.5 Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть дана прямая, составляющая угол с осью Ox и пересекающая ось Oy в точке B(0;b) . Тогда из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45

 

y

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y0 k ( x x0 )

 

 

имеем уравнение

 

 

 

 

B(0; b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y kx b .

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7) – уравнение прямой с угловым коэффи-

 

O

 

x

 

 

циентом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

Рис. 2.5

 

 

 

Число

определяет отрезок, отсекае-

 

 

мый прямой l

 

на оси Oy (рис. 2.5).

 

 

 

 

 

Пусть даны прямые l1 и l2 , которые пересекаются в точке M (рис. 2.6).

y

l2

 

Их уравнения

 

 

 

l1

 

 

 

l1 :

 

 

 

y k1x b1 ,

 

 

 

 

2

 

 

 

l2 :

 

 

 

y k2 x b2 .

 

 

 

 

 

 

 

Найдем tg .

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

Пусть прямая l1 образует с осью Ox

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угол 1 ,

а

 

прямая l2

– угол 2 . Тогда

O

 

 

 

2

1 , следовательно,

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 2 tg 1

 

 

Рис. 2.6

 

 

 

 

tg tg ( 2 1 )

.

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg 2 tg 1

 

 

 

 

 

 

k2 k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

 

 

.

 

(8)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Если прямые l1

и l2 параллельны, то 1 2 , следовательно, k1 k2 и

наоборот.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Равенство

k1 k2 – признак параллельности прямых l1 и l2 .

Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то формула (8) теряет смысл.

Однако

 

 

 

1 ) 1 tg 2

tg 1

1 k2 k1 .

 

 

ctg ctg ( 2

 

 

 

 

 

 

tg 2 tg 1

k2 k1

ctg 90 0 , следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1 k2

1 – признак перпендикулярности прямых l1

и l2 .

2.6 Уравнение прямой в отрезках

Предположим, что в общем уравнении прямой Ax By C 0 коэф-

фициенты A , B , C отличны от нуля. Перенесем C в правую часть уравнения и разделим обе части полученного уравнения на C . Получим

AC x BC y 1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности