192
Вариант 5
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A(6; 0) , B(2; 3) , |
C( 3; 9) треугольника. Требуется |
найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. |
Даны уравнения |
двух сторон параллелограмма |
x 2 y 12 0 , |
2x y 4 0 и точка |
P(4; 5) пересечения его диагоналей. Составить |
||
уравнения двух других сторон параллелограмма. |
|
||
3. |
Показать, что треугольник со сторонами x y 3 1 0 , |
x 3 y 1 0 и |
|
x y 10 0 равнобедренный. Найти угол при его вершине. |
|
||
4. Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси Ox и проходящей через точку P(3; 4) . Сделать
чертеж.
5. Составить уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса x2 4 y2 16 и имеющей центр в вершине эллипса, ордината которой отрицательна. Найти точки пересечения этой окружности с осью Oy . Сделать чертеж.
6. Дано уравнение параболы |
x2 8x 3y 19 0 . |
Сделать параллельный |
|
перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне- |
|||
ние параболы приняло вид x2 |
ay или |
y2 ax . |
Построить обе системы |
координат и параболу. |
|
|
|
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений: |
|||
x 2 y 3z 5 0, |
|
||
|
|
|
|
2x y z 1 0, |
|
||
|
3y 4z 6 0, |
|
|
x |
|
||
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
193 8. Даны векторы a {2; 4; 1} , b {1; 3; 6}, c {5; 3; 1} , d {24; 20; 6} в неко-
тором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (9;5;5) , A2 ( 3; 7;1) , A3 (5; 7;8) , A4 (6;9; 2) пирамиды.
Требуется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
7x3 2x 5 |
; |
б) |
lim |
2x2 3x 2 |
; |
||
2x3 1 |
x2 6x 16 |
||||||||
|
x |
|
|
x 2 |
|
||||
в) |
lim |
4x 1 3 |
|
; |
г) |
lim sin 7x ctg 5x ; |
|||
3x 10 4 |
|||||||||
|
x 2 |
|
|
x 0 |
|
|
|||
д) |
lim 1 cos x 3 cos x . |
|
|
|
|
||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Функция y f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
2, |
x 1; |
|
|
|
1 x 1; |
y 2 2x, |
||
|
|
x 1. |
ln x, |
|
|
3. Найти производные dydx :
|
|
x |
|
2 |
|
sin x cos x |
|
|
а) |
x |
|
|
б) y e |
sin x cos x ; |
|||
y |
|
|
|
; |
|
|||
|
x |
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||
в) |
y ln 3 |
5tg |
x |
4 ; |
г) y 4 arcsin |
x 1 |
; |
|
2 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
||
д) |
exy x2 y3 0 . |
|
|
|
|||
194
4. Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
dx |
dx2 |
||||
|
|
|
x 3cos2 t,y 2sin3 t.
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
|
|
|
e1 x |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
||||
а) |
y sin |
x |
; |
|
б) |
y |
|
|
|
|
. |
|||
|
(x2 |
5)7 |
(x3 8)2 |
|||||||||||
6. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|
||||||||||||
|
|
2arctg x |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||||
а) |
lim |
e3 |
x 1 |
|
; |
б) |
lim |
|
|
ctg |
|
x . |
||
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
x 0 |
x2 |
|
|
|
|||||
7. |
На линии |
y 2x3 2x2 |
5x |
найти точку, в которой касательная к этой |
|||||||||
линии параллельна прямой |
6x 3y 11 0 . |
|
|
|
|||||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
||||||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
y (x 3)2 (x 2) ; |
|
|
|
|
б) |
y (x 1) e 2 x . |
|||||
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
||||||||||||
|
а) |
y 3 |
x2 , |
x 1,03; |
|
|
|
|
б) |
y x6 , |
x 2,01. |
||
10. |
Найти частные производные |
дz , |
дz |
функции z z(x; y) : |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
дx |
дy |
|
|
|
|
|
|
а) |
z x3 y xy2 ; |
|
|
|
|
|
б) |
z x 3xy . |
||||
11. а) Найти производную сложной функции |
z f ( (t); (t)) : |
||||||||||||
|
|
|
f (x; y) x arctg(x 2 y) , |
(t) sin t , |
(t) cos t . |
||||||||
|
б) |
Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
сложной функции |
|||||||
|
дu |
дv |
|||||||||||
|
|
z f (u; v); (u; v) : |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f (x; y) x2 |
xy , |
(u; v) u sin v , |
(u; v) v cos v . |
||||||||
