185
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
8. Даны векторы a {8; 2; 3} , b {4; 6; 10}, c {3; 2; 1}, d {7; 4; 11} в не-
котором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (3;5; 4) , A2 (5;8;3) , A3 (1;9;9) , A4 (6; 4;8) пирамиды. Тре-
буется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
x3 x2 |
2x |
|
|
; |
б) |
lim |
x2 |
3x 2 |
; |
|
|||||
|
|
x 1 |
3x2 |
4x |
4 |
|
|||||||||||
|
x 5x3 3x2 |
|
|
x 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
г) |
lim |
|
2 |
x tg x |
; |
|||
|
x 1 |
|
1 x |
|
|
||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
д) |
lim(1 5x) |
8 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Функция y f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
x, |
x 1; |
|
y 1 2 , |
|
1 x 6; |
sin x, |
x 6. |
|
3. Найти производные dydx :
186
а) |
y |
|
x2 |
1 |
; |
|
|
б) |
y sin |
6 |
10x cos |
6 |
10x ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex e x |
|
|
||||
в) |
y |
1 |
ln |
|
x 1 |
|
; |
г) |
y arctg |
; |
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x2 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||
д) |
x tg y x2 y2 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. Найти |
dy |
и |
d |
2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
|
||||||||||
dx |
dx2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x t sin t,y 1 cos t.
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
|
а) |
y arcsin x ex |
; |
|
б) |
y |
(x2 6) |
4 x2 3 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120x5 |
|
|||
6. |
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|
||||||||||||||||
|
а) |
lim |
ex |
e x |
; |
|
|
|
б) |
lim |
|
|
cos x |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|||||||||
|
|
x 0 ln(1 x) |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
7. |
На линии |
|
y 3x2 24x 10 |
найти точку, в которой касательная к этой |
|||||||||||||||
линии параллельна прямой 24x 2 y 13 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
||||||||||||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) |
y x |
5 |
|
5 |
x |
3 |
; |
|
|
б) |
y |
ex e x |
. |
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
ex e x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
а) |
y arcsin x , |
|
x 0,08 ; |
|
б) |
y |
x3 , |
|
|
x 0,98 . |
||||||||
10. |
Найти частные производные |
дz , |
дz функции z z(x; y) : |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дx |
дy |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
z ln(x2 |
xy2 ) ; |
|
б) |
z arcsin |
x |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
11. а) Найти производную сложной функции |
z f ( (t); (t)) : |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
187 |
f (x; y) |
x2 y y2 x , |
(t) sin t , |
(t) cos t . |
||||
б) Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
сложной функции |
|||
|
дv |
||||||
z f (u; v); (u; v) : |
|
дu |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
f (x; y) arcsin(x y) , |
(u; v) u |
, |
(u; v) 3u 2v . |
||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
12. Дана функция z x2 3xy 6 y и |
две точки A( 4; 1) и B( 3,96; 1,03) . |
||||||
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
|
1)вычислить значение функции в точке B ;
2)вычислить приближенное значение z1 функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;
3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при
замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности
z x2 3xy 6 y в точке C(4; 1; z(4; 1)) .
Контрольная работа № 3
1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием:
|
|
x |
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
; |
|
|
б) |
x 3x dx ; |
|
|
|||
|
1 x8 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
|
|
|
(3x 7) |
dx ; |
г) |
|
dx |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
4x |
2 |
4x 16 |
x 3 |
3 (x 3)2 |
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл:
x cos x dx .
0
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой 3(1 cos ) .
4.Вычислить длину дуги кривой:
x 3(2cost cos 2t), |
0 t 2 . |
|
|
y 3(2sin t sin 2t), |
|