159

x

Тогда

§ 5. Формула Ньютона-Лейбница

x

В предыдущем параграфе мы установили, что функция J (x) f (t) dt

a

является первообразной для непрерывной подынтегральной функции f (x) . Как известно, всякая другая первообразная для функции f (x) отличается от J (x) только постоянным слагаемым. Поэтому, если F(x) – другая первообразная для f (x) , то J (x) F(x) C , или

x

f (t) dt F(x) C .

a

Значит,

x

f (t) dt F(x) F(a) .

a

В частности, при x b имеем:

b

f (t) dt F(b) F (a) – формула Ньютона-Лейбница.

a

Эта формула показывает, что, для того чтобы вычислить определенный интеграл, нужно найти какую-либо первообразную F (x) для подынтеграль-

ной функции f (x) и взять разность ее значений в верхней и нижней границах интегрирования.

Пример.

§ 6. Замена переменной в определенном интеграле

Как и в случае неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла можно упростить с помощью замены переменной.

( ) b , и при этом выполняются условия:

1)(t) и (t) – непрерывны на [ ; ];

2)при изменении t от до значения функции (t) не выходят за

пределы отрезка a x b .

При этих условиях имеет место следующая формула замены переменной в определенном интеграле:

Пример.

§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u u(x) и v v(x) – две функции, непрерывные вместе со своими первыми производными на [a ; b].

162

Тогда (2) примет вид

Формула (3) – формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример.

00

§8. Вычисление площадей плоских фигур

спомощью определенного интеграла

8.1Вычисление площади в Декартовых координатах

Рассмотрим следующие возможные случаи.

1. f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и f (x) 0 для любого x [a ; b]. В этом случае, как мы установили раньше, определенный

b

интеграл f (x) dx численно равен площади криволинейной трапеции

a

с основанием [a; b], ограниченной сверху графиком функции f (x) .

Таким образом, мы получили формулу для нахождения площадей плоских фигур следующего вида (рис. 5.2):

163

2.Рассмотрим теперь фигуру, изображенную на рис. 5.3. Она представляет собой криволинейную трапецию с основанием [a; b] , ограничен-

ную снизу графиком функции f (x) . Таким образом, имеем f (x) , определенную и непрерывную на [a; b] и f (x) 0 для любого x [a ; b].

y

Рис. 5.3

Легко заметить, что площадь данной трапеции S будет равна площади S1 криволинейной трапеции с основанием [a; b], ограниченной сверху гра-

фиком функции y f (x) (т.к. эти трапеции симметричны относительно оси Ox ). Отсюда имеем:

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y x x2 и осью

Ox .

Рис. 5.4

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линями: y x 2 , x 0 , y 0 .

3.Фигура представляет собой криволинейную трапецию с основанием [a ; b], ограниченную сверху кривой x x(t) , y y(t) , где x(t) , x (t) ,

y(t) – непрерывные функции на [ ; ] ( x( ) a , x( ) b ). В соответствии с п.1 имеем:

Рис. 5.8