136
2.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
k f (x) dx k |
|
|
|||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x) dx k f (x) dx ; |
|
|
|
|
|
|
||||
d k |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k d |
f (x) dx k f (x) dx . |
|
|
|||||
d k |
f (x) dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
k f (x) dx |
|
k |
f (x) dx |
k f (x) dx |
|
||
d k |
f (x) dx |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4 Геометрический смысл неопределенного интеграла
y |
F(x) C1 |
|
F(x) C2
F(x) C3
O |
x |
Рис. 4.1
Нахождение кривой y F(x) ,
зная, что тангенс угла наклона касательной в каждой ее точке есть заданная функция абсциссы этой точки f (x) .
§ 2. Основные методы интегрирования
2.1 Интегрирование методом разложения
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x3 |
2x 3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
2 |
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
dx |
|
dx |
|
|
||||||
|
3x |
|
|
3 |
|
3 |
x |
3 |
|
3 |
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x3 |
|
2 |
x ln |
|
x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
137
Пример 2.
|
dx |
|
cos2 |
x sin2 x |
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
cos2 x sin2 x |
dx |
|
|
|
|
ctg x tg x C . |
|
|
|
|
x |
|||||||
cos2 x sin2 x |
|
sin2 x |
cos2 |
|
||||||
2.2 Интегрирование методом замены переменной
Во многих случаях удается введением вместо переменной интегриро-
вания |
x новой переменной u свести данный интеграл |
|
f (x) dx к новому |
||
|
|
|
интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется другим способом. Этот метод интегрирования получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.
Введем вместо x новую переменную u такую, что x (u) , где (u) –
непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную. Покажем, что имеет место равенство:
|
|
|
(1) |
f (x) dx f ( (u)) (u) du |
|||
|
|
|
|
Действительно,
d f (x) dx f (x) dx ;
|
|
|
|
|
|
d |
f ( (u)) (u) du |
f ( (u)) (u) du f (x) dx . |
|
||
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||
Равенство (1) – формула замены переменной в неопределенном интеграле.
|
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
|
|
|
x az, |
|
|
|
|
|
adz |
|
|
|
|
|
dz |
|
arcsin z C arcsin |
x |
C . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a2 x2 |
dx adz |
|
a2 a2 z |
|
|
|
1 z2 |
|
a |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ax z, |
|
|
|
|
1 |
cos zdz |
1 |
sin z C |
1 |
sin ax C . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
cos ax dx |
|
adx dz |
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin x |
dx |
|
|
|
cos x z, |
|
|
|
|
dz |
ln |
|
z |
|
C ln |
|
cos x |
|
C . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
tg x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
sin xdx dz |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
138
2.3 Интегрирование по частям
Пусть u u(x) и v v(x) – две функции от x , имеющие непрерывные производные. Из дифференциального исчисления мы знаем, что
d(u v) u dv v du . |
(*) |
Интегрируя обе части равенства, имеем |
|
или
u dv
d (u v)
d (u
u dv v du ,
v) v du uv v du .
(Произвольная постоянная C включается в вычитаемый интеграл.)
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u dv |
uv v du |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется формулой интегрирования по частям. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x, |
du dx, |
|
|
|
x ex |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x exdx |
dv exdx, |
|
|
v exdx ex |
|
exdx x ex ex C . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Пример 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
2x 1) sin x dx |
|
u x2 2x 1, |
du 2x 2, |
|
(x2 2x 1)( |
cos x) |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dv sin x dx, |
|
|
|
v cos x |
|
|
|
|||
|
|
(x 1) cos x dx |
|
u x 1, |
du dx, |
|
(x2 2x 1)( cos x) |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
dv cos x dx, |
v sin x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
1)( cos x) 2(x 1) sin x 2 cos x C |
|||||||
2(x 1) sin x 2 sin x dx (x2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 2x 1) cos x 2(x 1) sin x C .