Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4631 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Matematika_1.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
3.09 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

62

§6. Преобразование системы координат на плоскости

6.1Параллельный перенос осей координат

y y

Q P M

R N

O (a; b) x

O

A

B

x

Рис. 2.19

Таким образом,

x a x ,y b y ,

Совершим параллельный перенос СК: O O (рис. 2.19). Рассмотрим произвольную точку плоскости M : ее координаты в новой СК будут другими. Найдем формулу, которая определяет новые координаты точки M в зависимости от старых.

x

 

OB

 

 

 

 

 

OA

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

OA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O N

 

 

 

a x

y

 

OQ

 

 

 

OR

 

 

 

RQ

 

 

 

 

OR

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O P

 

 

 

b y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x a,

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.

Дано уравнение линии y 2x2 4x .

Получить уравнение этой линии после переноса O O (1; 2 ) .

Решение.

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

1

2

 

 

x

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

O

 

1

 

2

x

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.20

x x 1,

следовательно, подстав-

 

y y 2,

 

ляя в данное уравнение, имеем:

y 2 2(x 1)2 4(x 1) ,

y 2 2x 2 4x 2 4x 4 , y 2 2x 2 2 ,

y 2x 2 (рис. 2.20).

Пример 2.

Дано уравнение линии y2 x2 2x 4 y 2 0 .

Упростить уравнение этой кривой с помощью преобразования параллельного переноса осей координат.

Решение.

x x a,

Подставляя эти соотношения в данное уравнение, имеем:

 

y y b.

 

63

( y b)2 (x a)2 2(x a) 4( y b) 2 0 ,

y 2 2 y b b2 x 2 2x a a2 2x 2a 4 y 4b 2 0 , y 2 x 2 y (2b 4) x (2a 2) (b2 a2 2a 4b 2) 0 .

Выберем a и b так, чтобы

2b 4 0,

 

a

1,

 

 

2 ) .

 

2a 2 0,

 

2.

Следовательно, O O (1;

 

 

b

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2 x 2 (4 1 2 8 2) 0 ,

y 2 x 2 7 0 ,

 

y

2

x

2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

– это окружность радиуса 7 с центром в точке O (1; 2 ) .

Преобразование параллельного переноса позволяет упростить уравнение кривой второго порядка за счет сокращения первых степеней переменных в новой системе координат.

 

6.2

Поворот осей координат на угол α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим ДСК на плоскости: совершим поворот осей координат на

угол против часовой стрелки ( 0

– против часовой стрелки, 0 – по

часовой стрелке) (рис. 2.21).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим произвольную точку плоскости M . Найдем соотношения

 

y

 

 

 

между старыми и новыми ее коор-

 

 

 

 

динатами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

C

M

 

 

x

 

 

 

OA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OB

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

OP

 

 

 

 

cos

 

 

RP

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

OP

 

 

 

 

 

cos

 

 

PM

 

sin

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos y sin ;

 

 

 

 

 

y

 

OC

 

 

 

OQ

 

 

 

 

 

 

 

 

QC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

A B

x

 

 

OQ

 

 

 

RM

 

 

 

 

 

PB

 

 

 

RM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.21

 

 

 

 

 

 

 

 

OP

 

sin

 

 

PM

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x sin y cos .

 

 

 

 

 

Таким образом, при повороте осей координат имеют место соотношения:

x x cos y sin ,

(3)

 

y x sin y cos .

 

 

Выразим новые координаты через старые. Для этого рассмотрим соотношения (3) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y .

По методу Крамера имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

 

cos

 

sin

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

cos

 

 

 

x

 

 

 

x

sin

 

x cos y sin ;

 

 

 

 

y

cos

 

y

 

 

 

cos

x

 

 

y cos

x sin ;

 

 

 

 

 

sin

y

 

 

x

 

x cos y sin ,

y y cos x sin .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, получаем

x x cos y sin ,

(4)

y x sin y cos .

 

С помощью преобразования поворота осей координат уравнение второго порядка можно приводить к более простому виду, при этом удаляются члены, содержащие смешанное произведение xy .

Пример 3.

Дано уравнение линии 5x2 6xy 5 y2 32 0 . Упростить уравнение этой кривой.

Решение.

Совершим поворот осей координат на некоторый угол против часовой стрелки:

x x cos y sin ,y x sin y cos .

Подставим в данное уравнение:

5(x cos y sin )2 6(x cos y sin )(x sin y cos )5(x sin y cos )2 32 0 ,

5x 2 cos2 10x y cos sin 5 y 2 sin2 6x 2 cos sin6x y sin2 6x y cos2 6 y 2 cos sin 5x 2 sin210x y cos sin 5 y 2 cos2 32 0 ,

5x

2

5y

2

( y

2

x

2

) 6 cos sin

 

(sin

2

cos

2

) 32

0 .

 

 

 

 

x y

 

 

Выберем таким образом, чтобы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 cos2 0 .

 

 

 

 

 

 

Имеем:

 

sin2 cos2 ,

tg2 1,

tg 1,

45 .

 

Заметим, что эти значения tg соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, взяв tg 1 вместо tg 1, мы только меняем ролями оси X и Y .

--------------------------------------------------

© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2014

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности