Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4631 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Matematika_1.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
3.09 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

168

Искомая площадь равна S Sкр Sсек .

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

S

 

 

1

 

 

2

d

 

 

 

2 cos

2

d

 

 

[1 cos 2 ]d

 

sin 2

кр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

Sсек

 

1 r 2

1

1

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

S

2

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

(кв.ед.).

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§9. Длина дуги плоской кривой

9.1Вычисление длины дуги в Декартовых координатах

Теорема. Пусть кривая AB задана уравнением y f (x) , где f (x) – непрерывная функция, имеющая непрерывную на [a ; b] производную. Тогда

дуга AB имеет длину, равную

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 f

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

dx .

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

Разобьем дугу AB точками

 

M1

, M 2 , …, M n 1

на n частей.

Обозначим абсциссы этих точек через x1 , x2 , …, xn 1 . Имеем

 

 

 

 

 

 

 

x0 a x1 x2 ... xn 1

xn b .

 

 

 

Построим ломаную A M1 M 2 ...M n 1 B . Длина ломаной будет равна

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L L1 , где Li

– длина i -го звена M i 1M i .

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L (x

i

x

i 1

)2

( y

i

y

i 1

)2 (x

i

x

i 1

)2 ( f (x

) f (x

i 1

))2 .

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

По теореме Лагранжа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (xi ) f (xi 1 ) f (ci ) (xi xi 1 ) ,

где

xi 1

ci xi .

 

 

Обозначим xi xi xi 1 . Тогда имеем

Li xi2 f (ci ) xi 2 1 f (ci ) 2 xi .

Отсюда длина ломаной L будет равна

 

 

 

 

169

n

f (ci ) 2 xi .

 

L 1

(2)

i 1

 

 

 

 

Правая часть соотношения (2) является интегральной суммой непре-

рывной на [a ; b] функции 1 f

 

2

 

 

AB L .

Приближение будет тем

(x) .

точнее, чем меньше шаг разбиения. Отсюда длина дуги AB будет равна пре-

делу интегральных сумм (2) при условии, что шаг разбиения стремится к 0,

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 f (ci ) 2

xi

1 f (x) 2 dx ,

 

max x1 , ..., xn .

 

AB

lim

 

 

 

 

 

 

0 i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти длину дуги кривой y2 x3 2

от x 0 до x 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

График данной кривой имеет вид (рис. 5.11). Тогда искомая длина

L 2L1 ,

где L1

– длина верхней ветви данной полукубической параболы, ко-

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торая задается уравнением y x3 2

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

3 2

 

 

 

 

 

 

3

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1

 

1 f (x)

 

dx

y

 

 

 

,

y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 9 x dx

 

1 8 x u,

 

dx

 

9 du

 

 

17

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

x 0 u 1,

x 1 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

17 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17 8

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

1 2

 

 

8

 

 

3 2

 

2

 

16

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

u

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

u

 

9

 

3

 

 

27

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L 2L

 

 

32

 

 

17

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.2 Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Пусть кривая

 

 

AB задана параметрическими уравнениями:

 

x x(t),

t .

 

 

 

y y(t),

 

170

Функции x(t) , y(t) ,

 

 

 

 

непрерывны и

 

 

 

на [ ; ] .

x

(t) ,

y

(t)

x (t) 0

Имеем:

dy

 

yt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) dx

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

yt

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 f (x) dx

 

1

 

 

 

x (t) dt

x (t)

y (t) dt ;

 

 

 

 

 

 

 

 

xt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 f

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

AB

 

dx

 

 

 

 

 

 

dt .

(2)

 

(x)

x (t)

y (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x t3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить длину дуги кривой

 

t ,

 

y t 2

2

 

от t 0

до t 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

Решение. L

 

 

dt

(t

1)

4t

dt

 

 

x (t)

 

y (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

t3

 

 

3

 

 

 

 

 

t

4

2t

2

 

 

 

(t

2

 

 

 

 

9 3 12 .

 

 

 

 

1 dt

 

1) dt

3

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3 Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах( ) , , причем ( ) и ( ) – непрерывные на [ ; ] функ-

ции.

Имеем:

x cos ,

 

( взяли за параметр);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y sin ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos sin ;

 

 

 

sin cos ;

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

sin

2

 

2

sin

2

 

x

y

 

 

2 sin cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

cos

2

 

 

2

.

 

 

 

 

 

Тогда

 

2 sin cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

d

 

 

 

d .

 

 

 

(3)

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности