115

§20. Дифференциал функции одной переменной

20.1Дифференциал и его геометрический смысл

Рассмотрим функцию y f (x) , которая определена и непрерывна в точке x0 и некоторой ее окрестности и дифференцируема в точке x0 .

Функция дифференцируема, следовательно, существует ее производная

f (x0 ) lim f .

x 0 x

По теореме 1 § 11 имеем:

f f (x0 ) (x) ,

x

следовательно, функция (x) сильнее стремится к нулю. Основной вклад в разложение (1) делает первое слагаемое.

df f (x0 ) x – главная часть разложения приращения функции по x . Пусть приращение функции представимо в виде:

производная

f (x0 ) A .

Если функция представима в виде (2), то говорят, что функция дифференцируема.

Определение. Дифференциалом функции называется величина, про-

порциональная бесконечно малому приращению аргумента x и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка чем x .

Дифференциал функции y f (x) обозначается через dy или df (x) .

116

Необходимым и достаточным условием существования дифференциала функции y f (x) в точке x0 служит существование ее производной в этой

точке, и тогда

df f (x0 ) x .

Определение. Приращение x независимой переменой x называют ее дифференциалом dx , т.е.

x dx .

Таким образом,

Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной, т.е.

df f (x0 ) dx .

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию дифференциала функции y f (x) (рис. 3.25). Т.к. f (x0 ) tg , то дифференциал df f (x0 ) dx измеряет отрезок RT .

отрезком M T , заключенным между линией и касательной к ней; длина это-

го отрезка является при x 0 бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем длина отрезка MR .

20.2Свойства дифференциала функции

1)d( f (x) g(x)) ( f (x) g(x)) dx ( f (x) g (x)) dx

f (x) dx g (x) dx df (x) dg(x) .

Таким образом,

Таким образом,

d( f (x) g(x)) g(x) df (x) f (x) dg(x) .

117

20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности

Рассмотрим свойство дифференциала функции, вытекающее из правила дифференциала сложной функции.

Пусть y f (u) и u (x) – непрерывные функции своих аргументов, имеющие производные по этим аргументам f (u) и (x) . Если обозначить F(x) f (x) , то y F (x) f (u) (x) . Умножая обе части уравнения на

dx , получим:

dy f (u) (x) dx ,

но (x) dx du , и значит,

dy f (u) du ,

т.е. дифференциал dy имеет такой же вид, как если бы величина u была бы независимой переменной.

Дифференциал функции y f (u) сохраняет одно и то же выражение,

независимо от того, является ли ее аргумент u независимой переменной или функцией от независимой переменной.

Это свойство называется инвариантностью (т.е. неизменностью) фор-

мы дифференциала.

20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала

Пусть в точке x0 производная функции y f (x) отлична от нуля:

f (x0 ) 0 . Тогда

f f (x0 ) dx (x) df (x) ,

где (x) – б/м величина при x 0 более высокого порядка, чем dx .Но при

указанном условии она будет б/м величиной более высокого порядка и чем df и f . Действительно, при x 0 имеем:

118

бесконечно малую величину более высокого порядка, чем они сами, и, следовательно, они эквивалентны:

Формула (3) называется формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала.

20.5 Дифференциалы высших порядков

Пусть дана дифференцируемая функция y f (x) . Тогда df f (x) dx .

Определение. Дифференциалом второго порядка функции f (x) на-

зывается дифференциал от функции (df (x)) : d 2 f d(df (x)) . Аналогично:

Дифференциалом n -го порядка называется дифференциал от дифференциала (n 1) -го порядка как функции x : d n f d(d n 1 f (x)) .