4.3. Математика и реальность.

Одной из трудных проблем современного научного познания является применение в нем арсенала многообразных математических методов и исчислений. Действительно, особенности математического познания заключаются в том, что в отличие от других научных дисциплин математика изучает и унифицирует отношения между абстрактными объектами, отношения в чистом виде, безотносительно к каким-либо конкретным объектам и поэтому математика является наукой о возможных мирах (в этом она сродни философии). История науки показывает, что только в итоге большого и трудного пути практического и духовного освоения мира были выработаны математические абстракции и символы, что здесь можно вычленить ряд этапов³⁰⁴: этап предметного количества, когда использовались объемные (трехмерные) символы, этап становления чисел как абстрактных объектов, этап, связанный с пониманием математических объектов как идеализированных «абстракций» чувственного опыта, и этап, на котором математики осознали тот факт, что необязательно абстрактные объекты математики в рамках самой математики должны иметь чувственную интерпретацию.

Крупнейший математик XX столетия Г. Вейль в своей книге «Математическое мышление» показывает, каким образом на основе научного постижения четырехмерного континуума физического мира вырастают абстракции математики, когда интуитивная, чувственная картина мира уступает место знаковым, символическим конструкциям математики. «Своим геометрическим, а позднее символьными конструкциями, - цитирует Г. Вейль А. Шпайзера, - математика стряхивает оковы языка, и тот, кто знает, какой гигантский труд вкладывается в этот процесс, и знаком с его неизменно повторяющимися поразительными успехами, не может не ощутить, что математика наших дней в своей сфере интеллектуального мира более эффективна, чем современные языки в их жалком состоянии и даже музыка в своих областях»³⁰⁵. Можно утверждать, что математика - универсальная абстрактно-символическая система, при помощи которой ученые исследуют феномены природы. Специфика и границы применимости математических символов обусловлены природой математических абстракций.

В рамках концепции предметной деятельности получает свое адекватное научное объяснение феномен множества интерпретаций символа. Человек, согласно указанной концепции, познает объективную реальность в процессе ее преобразования, что возможно благодаря освоению им накопленного социального опыта и «неорганического тела» цивилизации. Это тело цивилизации транслируется от поколения к поколению, постоянно наращивается и представляет собой опредмеченную деятельность общественного человека. Вместе с тем накопление, концентрация этой «угасшей» деятельности позволяет человеку обогащать и углублять свои представления об объективном мире, строить более адекватные целям деятельности субъекта символические языки, которые во всех сферах человеческого сознания выступают инструментом, программой преобразования действительности. Символы объективируют специфику срезов видения мира в зависимости от целей, поставленных субъектом деятельности. Понимание символа как «свернутого» времени человеческой деятельности позволяет в качестве методологического приема по-новому интерпретировать эвристическую функцию символов в познании, в том числе и научном постижении мира.

Исходным пунктом анализа роли математических символов в научном познании служит тезис о том, что математика используется в науке не только для количественного, но и качественного описания природных процессов, т.е. математика для науки служит языком. Актуальная с античности и до наших дней проблема соотношения математики и реальности состоит в том, что существует одна или несколько математик³⁰⁶. Иными словами, проблема заключается в том, как совместить множество математик как языков с исследуемым единственным внешним миром. Одним из таких языков в современной науке является теория узлов. Западный ученый В. Джонс в своей работе «Теория узлов и статистическая механика» показал, что математические теории, разработанные для нужд квантовой механики, постепенно раскрывают взаимосвязь между этими двумя столь далекими друг от друга дисциплинами³⁰⁷. Известно, что статистическая механика изучает системы, состоящие из чрезвычайно большого числа компонентов, что она, как правило, не занимается малыми системами вроде узлов и зацеплений, которые обычно находятся в компетенции теории узлов. В тоже время в теории узлов даже самые малые системы могут обладать довольно тонкими свойствами, которые присущи и большим системам.

Было также обнаружено, что некоторые алгебраические соотношения, используемые для расчета моделей в статистической механике, служили ключом к описанию одного математического свойства узлов, известного как полиномиальный инвариант³⁰⁸. Эта связь, вначале малозаметная, породила затем значительный поток идей в силу того, что на современном этапе развития физики и математики идеи, относящиеся к различным областям, взаимодействуют и приводят к неожиданным результатам. Открытие связи между теорией узлов и статистической механикой оказалось возможным благодаря существованию теории, построенной на основе математического аппарата квантовой физики. Эта теория, известная как алгебры фон Неймана, отличается понятием непрерывной размерности. Обычно размерность пространства - целое положительное число, скажем 2, 3 или 11, но у алгебр фон Неймана столь же возможны иррациональные дробные размерности типа числа  или корня из двух. Эта допустимость произвольной вещественной размерности играет ключевую роль в сопряжении теории узлов и статистической механики.

Кроме того, В. Джонс обратил внимание на то, что узловые инварианты были вскоре обнаружены в квантовой теории поля – «топологическая» квантовая теория поля позволяет естественным способом выражать новые идеи, касающиеся узлов. Здесь есть не лишенное красоты обобщение, относящееся к инвариантам узлов в более сложных трехмерных пространствах, называемых трехмерными многообразиями: в них само пространство может содержать дырки и петли. Более того, новая теория узлов нашла применение в другой совершенно независимой области: «Специалисты по молекулярной биологии установили, что двойные спирали ДНК в ходе биологических процессов рекомбинации и репликации связываются в узлы и зацепляющиеся петли. Механизм распутывания таких узлов, имеющий место в клетках, поразительно напоминает простейший математический метод порождения новых полиномиальных инвариантов»³⁰⁹.

В настоящее время значительную роль в современной физике играет топология – она является такой же определяющей структурой, какой была классическая дифференциальная геометрия для общей теории относительности или теория групп и гильбертовых пространств для квантовой механики³¹⁰.Топология широко применяется в квантовой теории поля для осуществления попыток построения единой теории поля, включающей все типы взаимодействий, что требует рассмотрения расслоенных пространств высокой размерности с разнообразными калибровочными группами симметрий. Сейчас весьма перспективной топологической конструкцией представляется теория струн и ее обобщение – теория мембран, благодаря которым элементарные частицы предстают как протяженные объекты порядка планковских размеров³¹¹.

Топология весьма успешно применяется в целом ряде других разделов физики, приводя к неожиданным открытиям и новым постановкам задач. Топология дает возможность объяснить дробный квантовый эффект Холла, открытие «квазикристаллов», она применяется в исследовании статистики узлов и приложении теории узлов к анализу структуры ДНК, в работах по квантовой гравитации и т.д. Представляет интерес полученные недавно такие глубокие обобщения топологические теоремы двойственности, «что они становятся применимыми уже к основным динамическим законам и характеристикам объектов и в физике, а возможно, и в биологии³¹².

И, наконец, нельзя не коснуться проблемы использования в современной физике неархимедовых исчислений. Именно неархимедовы исчисления оказываются адекватными теории относительности и термодинамики. В работах харьковского ученого В.Л. Рвачева показано, что применяемые на протяжении многих веков классическое исчисление – это одно из бесконечного множества равноправных изоморфных исчислений, вид базовых операций сложения – вычитания и умножения – деления которых зависит от выбора математического выражения для аксиомы исчисления Архимеда³¹³. Так как аксиома Архимеда исходит из существования числа, большего любого наперед заданного, то она влечет за собой математическую бесконечность, которая не имеет физического аналога. Можно привести множества примеров «нефизичности» классической операции сложения для смешивания газов и жидкостей: 1 л. спирта плюс 1 л. воды равно 1,8 л. спиртового раствора; смешивание двух одинаковых объемов воды температуры 40 градусов и 50 градусов отнюдь не даст суммарную температуру в 90 градусов. Сложение скоростей двух движущихся тел в специальной теории относительности, «дефект масс» в ядерной физике, когда сумма масс свободных нуклонов меньше массы образованного из них атомного ядра, также противоречит аксиоме Архимеда. Иными словами, классическая арифметика не соответствует некоторым опытным данным и поэтому сейчас разрабатываются неархимедова математика как обобщение и развитие классической математики, позволяющая нетрадиционно интерпретировать проблемы взаимосвязи массы, энергии, скорости и некоторые опытные факты³¹⁴. В новом свете предстает гипотеза происхождения Вселенной, ибо к далеким галактикам и другим объектам дальнего космоса неправомерно подходить с «архимедовой меркой», выработанной в условиях нашей Галактики. Неархимедово исчисление показывает, что «Вселенная не расширяется», что «Вселенная существовала всегда и имела с точностью до расположения и состояния своих объектов примерно такой вид, какой имеет сейчас»³¹⁵.

Успехи науки свидетельствуют о том, что абстрактные символы математики получают благодаря экспериментальным данным содержательную интерпретацию, что в арсенале современной математики имеются абстрактные структуры, адекватные потребностям естественнонаучного описания и объяснения. Возрастание абстрактности научных теорий связано со все более глубоким проникновением науки в структуры микромира и мегамира, что требует применения все более абстрактных математических методов для описания этих структур. Однако следует учитывать тот существенный момент, что математические методы ограничены в своих применениях как способы научного познания. Математизация научного знания имеет границы, которые следуют из абстрактного характера математики. Математика представляет собой систему абстракций, выраженных посредством языка символов. Математические символы включены в теоретическую деятельность, которая имеет в значительной степени формально-логический характер, следовательно, применение этих символов тоже имеет свои границы. Исследователи указывают на расширение предмета математики в связи с «компьютеризацией» науки, на глубокие методологические изменения, затрагивающие статус и структуру науки из-за «вторжения» в нее методов машинного моделирования, а также более абстрактных математических методов.

Развитие современной науки неразрывно связано с использованием новых математических средств, в том числе и методов машинной графической символики, что связано с высоким уровнем математического абстрагирования. Открывающиеся в результате этого новые возможности, следующие из объединения мощи компьютеров и творческих способностей человека, обусловлены следующими факторами: в ЭВМ опредмечены знания многих поколений о человеке и внешнем мире, программы ЭВМ записаны на языке математических символов, содержащих в себе в свернутом и обобщенном виде, по сути, историю самой математики.

Одной из самых интересных проблем современного естествознания является феномен математического опережения действительности, или проблема эвристической роли математики в научном познании. В своей исходной форме вопрос об эвристической роли математики - это вопрос об отношении математики к действительности. Впервые данный еще в эпоху Возрождения ответ на него – «природа написана на языке математики» - оборачивается в кантианстве утверждением, что законы природы дает познающий человек. Вместе с тем непризнание рядом философов и естествоиспытателей кантианства приводит к отрицанию и этой формулы. «Что касается утверждения, будто законы математики суть в то же время законы природы, - пишет М. Бунге, - то, оно не выдерживает простейшего семантического или даже исторического анализа»³¹⁶.

Эта точка зрения находит свое предельное выражение в конструктивистской программе Гильберта, а вместе с тем и вопрос об эвристической роли математики приобретает чрезвычайную актуальность. «То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - пишет Н. Бурбаки - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого... и, быть может, мы их никогда и не узнаем... В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм»³¹⁷.

Поставленный вопрос можно сформулировать в следующем виде: каким образом высоко абстрактное идеализированное математическое построение, возникшее на основе развития внутренних возможностей самой математики и лишь весьма опосредованно связанное с практикой, может иметь эвристическое значение при применении его непосредственно к практическим или теоретическим проблемам другой науки? Такого рода постановка вопроса еще не лишает возможности смотреть «на чрезвычайную эффективность математики в естественных науках как на нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению»³¹⁸, не содержит еще в себе прямо и непосредственно объяснения того факта, что математика выступает как начало, активно участвующее в формировании новых теорий, требующие затем интерпретации которых еще только должны быть найдены.

Ключом является социокультурный подход к феномену математического опережения действительности. Согласно концепции универсальной деятельности человека, символико-математические модели и уравнения в потенции содержат возможные проявления вещи. В силу этого математическая символика позволяет мышлению исследователя развернуть в идеальном, мыслительном плане вероятностные пути развития природных явлений. Главное здесь в том, что математические уравнения, модели, методы вырастают из практической деятельности человека, отражают весьма опосредовано реальный мир. Понятно, что конкретизация данного положения представляет сложную проблему и требует своего дальнейшего исследования.