6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування

Постановка задач стохастичного програмування має певну специфіку. Насамперед слід ураховувати такі застереження:

1. Важливо, яким є вектор Х — детермінованим чи випадковим. Якщо вектор Х є детермінованим, то він не залежить від випадкових параметрів моделі. Якщо він випадковий, то залежить від випадкових параметрів.

2. Істотним є те, як розуміти максимізацію (мінімізацію) цільової функції — як абсолютну (для всіх значень ) чи як максимізацію її математичного сподівання або деякої іншої ймовірнісної характеристики цієї функції (моди, медіани) або мінімізації середньоквадратичного відхилення. Тут — простір подій . Наприклад, що краще: мати платню 500±200 чи 450±50. У пер­шому випадку платня становить 300—700, у другому — 400—500 грн.

3. Слід з’ясувати, як виконуються обмеження — абсолютно для всіх чи в середньому або з допустимими порушеннями, ймовірність яких мала.

У постановці задач стохастичного програмування слід брати до уваги не лише математичні закономірності, а й економічний зміст та евристичні міркування.

Детермінованість чи стохастичність вектора Х визначається сут­ністю економічних, технологічних процесів тощо. Наприклад, площі посіву сільськогосподарських культур є детермінованими, обсяги кредитів — стохастичними величинами, бо напевне не відомо, чи вони будуть отримані.

У стохастичному програмуванні важливим є вибір цільової функції, яка визначає ефективність функціонування й розвитку економічної системи. Цільовою функцією можна взяти:

1) максимізацію математичного сподівання відповідного економічного показника (прибутку, рентабельності тощо);

2) мінімізацію дисперсії економічних показників;

3) лінійну комбінацію математичного сподівання та дисперсії економічних показників;

4) імовірність перевищення (неперевищення) економічним показ­ником певного фіксованого порогу;

5) максимізація математичного сподівання функції корисності.

У стохастичному програмуванні підвищується важливість багатокритеріальної оптимізації.

Обмеження у стохастичних економіко-математичних моделях можуть задаватися різними способами, а отже, відповідні оптимальні плани матимуть різний рівень гарантії їх виконання. При цьому потрібно брати до уваги як внутрішню невизначеність (технологічні процеси), так і невизначеність зовнішнього середовища (постачання сировини, попит на вироблену продукцію, податки тощо).

Нехай задано обмеження в загальному вигляді

. (6.28)

Неможливо, а іноді й недоцільно вимагати, щоб знайдений розв’язок задовольняв обмеження (6. 28) за будь-яких реалізацій випадкових параметрів . З огляду на це можна накласти дещо менш жорсткі обмеження, зокрема замість (6.28) припустити невиконання умов з певною ймовірністю

(6.29)

або

. (6.30)

Обмеження (6.29) розуміємо так: імовірність того, що не перевищує значення . Відповідно вираз (6.30) гарантує, що з імовірністю виконуватиметься обмеження (6.28). Наприклад, якщо , то обмеження (6.28) у 95 випадках зі 100 виконуватиметься і тільки в п’яти не виконуватиметься.

Аналогічно модифікують й цільову функцію. Нехай — функція, яка виражає ефективність плану при заданих х та . Тоді задачу визначення оптимального детермінованого плану х при випадкових параметрах можна сформулювати в таких варіантах:

1) (6.31)

за умов

(6.32)

; (6.33)

2) (6.34)

за умов

(6.35)

. (6.36)

Отже, при постановці задачі варіанта 1 необхідно максимізувати середню сподівану ефективність за умов, що обмеження, наприклад за ресурсами, виконанням контрактів тощо, виконаються з імовірністю . При постановці задачі варіанта 2 додатково вимагається, щоб значення функції ефективності наприклад прибутку, було не меншим за з імовірністю , а значення було максимальним.

Зауважимо, що варіант 1 простіший у обчислювальному аспекті.

Постановка задачі стохастичного програмування істотно залежить від того, чи є можливість під час вибору (прийняття) рішень уточнювати стан економічного середовища (природи) на підставі певних спостережень. Для економічних систем розробляють стратегічні і тактичні плани. У стратегічних планах ураховують усі можливі значення , тобто стан зовнішнього та внутрішнього середовища, а рішення приймають щодо траєкторії розвитку системи. Проте в певний момент часу в результаті спостереження стан економічного середовища стає відомим. Тоді розробляють тактичний план, тобто знаходять рішення (розв’язок) при заданому , розв’язуючи задачу:

max

за умов

,

.

У загальному випадку спостереження не повністю визначають стан економічного середовища, а тому етапи вибору рішень (роз­в’язків) можуть чергуватися з етапами спостережень за станом зовнішнього середовища. Отже, відбуваються багатоетапні процеси вибору рішень у такій послідовності:

рішення — спостереження — рішення — спостереження...

Послідовність рішень називають N-етапною, якщо в ній слово «рішення» зустрічається N разів.

Отже, процес прийняття рішень розвитку та функціонування економічної системи складається з програмної (стратегічний план) і адаптивної (тактичний план) частин. Можливість плану адаптуватися до постійної зміни умов його реалізації — необхідна умова ефективного розвитку та функціонування економічних систем.

Програмну (стратегічну) та адаптивну (тактичну) частини плану поєднують згідно з такими принципами:

1. план-програму обирають так, щоб максимізувати сподівану корисність з урахуванням майбутньої адаптації до кожної ситуації;

2. план-адаптація має бути найефективнішим для кожної реалізації економічної ситуації зі збереженням стратегії розвитку системи;

3. план-програму (стратегію) можна коригувати з урахуванням можливих майбутніх ситуацій зовнішнього і внутрішнього середовищ.

Плани, здобуті згідно з моделями (6.31)—(6.33) або (6.34)—(6.36), називають М-планами, тобто як критерій оптимальності використовується максимізація математичного сподівання . Проте часто доцільно розглядати дисперсію цієї функції або моменти вищих порядків. Якщо критерій оптимальності має вигляд , то здобуті плани називають D-планами.

Іноді доцільно за критерій оптимальності брати різницю

,

де К — відомий параметр.

Можливі й інші варіанти побудови критерію оптимізації.

Методи розв’язування стохастичних задач поділяють на дві групи — прямі та непрямі.

Прямі методи застосовуються для розв’язування задач стохастичного програмування, коли існують способи побудови функцій і , на базі інформації щодо параметра . У непрямих методах стохастичну задачу намагаються звести до задачі лінійного чи нелінійного програмування, тобто розглядається детермінований аналог задачі стохастичного програмування.