16. Коэффициенты вариации, свойства, области применения

Для оценки меры вариации и ее значимости пользуются также коэффициентом вариации V, который дает относительную оценку вариации и получается путем сопоставления среднего линейного или среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления, а результат выражается в процентах:

либо

17. Графическое представление вариационного ряда

Графически вариационный ряд можно изобразить, как и лю­бой ряд значений аргумента и функции, используя прямоуголь­ную систему координат и строя точки с координатами (х₁, т₁), (х₂, т₂,), ..., {х_п, т_п). Если затем последовательно соединить полу­ченные точки отрезками прямой, а из первой и последней точки опустить перпендикуляры на ось х, получим замкнутую фигуру в виде многоугольника, которая называется полигоном и графичес­ки представляет распределение совокупности по признаку х. По­лигон чаще используется для дискретных вариационных рядов. На рис. представлен полигон распределения домашних хозяйств по числу их членов.

Полигон распределения

Интервальный вариационный ряд изображают в виде гис­тограммы. Для интервального ряда с равными интервалами на оси х откладывают отрезки, равные длине интервала. На этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники, высота ко­торых пропорциональна частоте или частости. Для интервально­го ряда с неравными интервалами на оси ординат откладывают плотности распределения, так как в этом случае именно плотность дает представление о заполненности каждого интерва­ла. На рис.2 изображена гистограмма распределения банков по величине активов, построенная по относительной плотности распределения.

Гистограмма

Площадь всей гистограммы численно равна сумме частот, или численности единиц в совокупности (если на оси ординат отло­жить частоты).

Любой вариационный ряд можно представить графически в виде кривой накопленных частот (или частостей). При этом на оси х откладывают варианты или верхние границы интервалов, а на оси у - соответствующие накопленные частоты (или частос­ти). Полученные точки соединяют для непрерывного признака плавной кривой, которая называется кумулятивной кривой, или кумулятой. Если значения х (варианты) откладывать на оси у, а накопленные частоты (или частости) на оси х, то построенная на них кумулятивная кривая называется огивой.

На рис. 3 представлена кумулята распределения банков по величине активов. Кумулята имеет начальную точ­ку на оси х с координатами (х₀, 0), где х₀ - нижняя граница пер­вого интервала. Это означает, что в нашей совокупности нет ни одного банка с активами 10 млрд руб. и менее.

Кумулятивная кривая

Ряд накопленных частот по сравнению с первоначальным ря­дом распределения обладает некоторыми преимуществами. На­пример, длина интервала для такого ряда имеет уже второстепен­ное значение.

18. Асимметрия распределения (As )

Центральный момент третьего порядка используется при исчис­лении показателя асимметрии распределения. Для того что­бы показатель асимметрии не зависел от масштаба, выбранного при измерении варианта, вводят безразмерную характеристику — коэф­фициент асимметрии (нормированный момент третьего порядка).

При симметричном распределении варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту, поэтому =0, а следовательно, и r₃=0. Если μ₃ < 0, то в вариационном ряду преобладают (имеют большую частоту) варианты, которые меньше, чем средняя, т.е. ряд отрицательно асимметричен (или с левосторонней скошенностью -более длинная ветвь влево). Положительная асимметрия (право­сторонняя скошенность — более длинная ветвь вправо) характе­ризуется значением r₃ > 0 (рис. 1)

В качестве показателя асимметрии применяется и коэффици­ент асимметрии Пирсона, представляющий собой отношение раз­ности между средней арифметической и модой к среднему квадратическому отклонению:

Если As > 0, скошенность правосторонняя (как и для л); если As < 0, скошенность левосторонняя; если As = 0, вариационный ряд симметричен.

Для характеристики крутизны распределения использует центральный момент четвертого порядка

Для образования безразмерной характеристики определяется отношение (нормированный момент четвертого порядка). Данное отношение и характеризует крутизну (.заостренность; гра­фика распределения.

При измерении асимметрии эталоном служит симметричное распределение, для которого r₃= 0. Аналогично при оценке кру­тизны в качестве эталонного выбирается так называемое нормаль­ное (симметричное) распределение.