8. Средние величины на базе степенной средней

Среди обобщающих показателей, характеризующих статистиче­ские совокупности, большое значение имеют средние величины. Средняя величина - это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака. Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состо­ит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние как общие причины, так и индивидуальные условия. В среднем зна­чении отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются. Средняя, являясь функцией множества индивиду­альных значений, представляет одним значением всю совокуп­ность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

Практическое применение средних величин как обобщающих характеристик явлений и процессов в природе и обществе чрез­вычайно широко.

Можно рассчитать среднемесячную заработную плату работни­ка той или иной профессиональной группы (шахтера, библиотека­ря, врача) и среднемесячный денежный доход, который приходит­ся на одного жителя страны, среднюю себестоимость продукции по группе предприятий. Средние величины используются в качестве типических харак­теристик не только для однородных, но и для неоднородных совокупностей. В статистике используются различные виды (формы) средних величин. Наиболее часто применяются следующие средние вели­чины:

• средняя арифметическая;

• средняя гармоническая;

• средняя геометрическая;

• средняя квадратическая.

Выбор той или иной формы средней зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Указанные средние величины могут быть вычислены, либо когда каждый вариант в данной совокупности встречается только один раз, при этом средняя называется простой или невзвешенной, либо когда варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой или статис­тическим весом, а средняя, вычисленная с учетом весов, — средней взвешенной.

Все указанные средние величины можно рассчитать по форму­лам средней степенной:

а) если имеются только варианты x^z₁, х^z₂, ..., х^z_n — по формуле средней степенной порядка z

б) если имеются варианты и частоты f₁ f₂,... f _n — по формуле средней степенной взвешенной

где х — средняя степенная;

z - показатель степени, позволяющий определить вид

средней; х_i — вариант; f_i — частота, или статистический вес, варианта.

9. Вычисление средней арифметической при различных вариантах задания исходных данных и их свойства

Средняя арифметическая — самый распространенный вид сред­ней величины. Следует отметить, что если вид средней величины не указывается, подразумевается средняя арифметическая.

Средняя арифметическая получается при подстановке в формулу, степеной средней значения z = 1

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

средняя арифметическая взвешенная — по формуле:

Пример. Обследование пяти квартир первого этажа жилого дома показало, что в них проживает соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 человек.

Определить среднюю арифметическую.

Средняя арифметическая из этих чисел

т.е. в среднем на одну квартиру первого этажа приходится 3 чело­века.

Пример. Результаты обследования всех квартир одного подъез­да жилого дома приведены в табл.

Количество прожива- ющих в квартире чел.	Количество квартир
1	2	3
1 2 3 4 5	6 9 10 20 15	6 18 30 80 75
Итого	60	209

Вычислить среднее число жителей, проживающих в одной квартире.

Находим среднюю арифметическую взвешенную, предвари­тельно заполнив графу 3 в табл.

т.е. в среднем на одну квартиру в этом подъезде приходится 3,48 человека.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств. 1. Средняя арифметическая постоянной величины а равна этой же постоянной величине:

2. Сумма отклонений значений вариантов от средней равна нулю:

(если частоты равны единице)

(если частоты различны)

3. Если из всех вариантов х_i. вычесть постоянную величину х₀ и на основе разностей (х_i — х₀= х'_i) вычислить среднюю х'_i , то она будет меньше средней исходного ряда на эту постоянную величину. Поэтому, чтобы получить среднюю из исходных ва­риантов, необходимо к средней прибавить ту же постоян­ную величину х₀:

4. Если все варианты х. разделить на постоянную величину h и из частных (х' /h = х'_i) вычислить среднюю, то она будет меньше средней исходного ряда в h раз. Для того чтобы получить сред­нюю из исходных вариантов, нужно среднюю умножить на эту постоянную величину к.

5. Если у всех вариантов х. частоты f_i равны друг другу (f₁= f₂ =... = f_n= k), то средняя арифметическая взвешенная равна средней арифметической простой:

Использование свойств средней позволяет упростить вычис­ление средней арифметической.

Упрощенная формула расчета средней арифметической;

При этом х' получено из

Эта формула применяется в том случае, когда данные сгруп­пированы и варианты каждой группы представлены интервалом (х_{i min}^— х_{i max}). При значение в центре интервала принимает­ся за значение признака у всех единиц в этом интервале.

В случае если совокупность разбита на группы и для каждой группы исчислена средняя арифметическая, общая средняя для всей совокупности рассчитывается по формуле

где

Как видим, переход от частных средних к средней по всей со­вокупности осуществляется по формуле средней арифметической взвешенной, при этом в качестве вариантов выступают группо­вые средние, а весом служит численность каждой группы.