14. Показатели вариации, наиболее часто употребительные в статистике

В практическом анализе оценка рассеяния значений признака может оказаться не менее важной, чем определение средней. Самая грубая оценка рассеяния, легко определяемая по данным вариационного ряда, может быть дана с помощью размаха вариации;

,

где – наибольшие и наименьшее значения варьирующего признака

Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важ­но знать, какова амплитуда колебаний значений признака, на­пример, каковы колебания цены на данный товар в течение неде­ли или по разным регионам в данный отрезок времени.

Однако этот показатель не дает представления о характере вариационного ряда, расположении вариантов вокруг средней и может сильно меняться, если добавить или исключить крайние варианты (когда эти значения аномальны для данной совокуп­ности). В этих случаях размах вариации дает искаженную амплиту­ду колебания против нормальных ее размеров. Поэтому следует очистить совокупность от аномальных наблюдений, прежде чем определять размах вариации Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния. Они различают­ся выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее отдельных вариантов. К таким показателям относятся:

• среднее линейное отклонение;

• дисперсия;

• среднее квадратическое отклонение;

• коэффициент вариации.

Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины:

Для несгруппированных данных

Для сгруппированных данных

где - значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении

- частота признака

15. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от сред­ней, используют либо абсолютные значения отклонений, либо их четные степени, например квадраты. В последнем случае мера ва­риации называется дисперсией и обозначается D :

для не сгруппированных данных

для сгруппированных данных

Исчисление дисперсии сопряжено с громоздкими расчетами, особенно если средняя величина выражена числом с нескольки­ми десятичными знаками. Расчеты можно упростить, если исполь­зовать следующую модификацию формулы дисперсии:

Существуют и другие способы для упрощения исчисления дис­персии.

Однако вследствие суммирования квадратов отклонений дис­персия дает искаженное представление об отклонениях, измеряя их в квадратных единицах. Поэтому на основе дисперсии вводят­ся еще две характеристики: среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же едини­цах, что и варьирующий признак, и исчисляется путем извлече­ния квадратного корня из дисперсии:

для не сгруппированных данных

для не сгруппированных данных

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются кон­кретные варианты признака от его среднего значения. Величина а часто используется в качестве единицы измерения отклонений от средней арифметической. Отклонение, выраженное в а, называ­ется нормированным или стандартизированным.

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются кон­кретные варианты признака от его среднего значения. Величина а часто используется в качестве единицы измерения отклонений от средней арифметической. Отклонение, выраженное в а, называ­ется нормированным или стандартизированным.