22. Проверка гипотезы о законе распределения

Таким образом, анализируя частоты в эмпирическом распределении, можно описать его с помощью математической моде­ли— закона распределения, установить по исходным данным па­раметры теоретической кривой и проверить правильность выдвинутой гипотезы о типе распределения данного ряда. При исследовании закономерностей распределения очень важно выдвинуть верную гипотезу о типе кривой распределения, так как, если кривая описана математически (с помощью уравнения) верно, она более точно отражает закономерности данного распределения и может быть использована в различных практичес­ких расчетах и прогнозах. Кроме того, в этом случае можно сформулировать рекомендации для принятия практических решений теоретическим распределение- это ги­потетическое распределение вероятностей, которое предполага­ется для наблюдаемых частот вариационного ряда.

Общий порядок проверки статистических гипотез таков:

• формулируется основная (проверяемая) и альтернативная ги­потезы;

• выбирается статистический критерий для проверки справед­ливости гипотезы;

• определяются критическая область и область допустимых зна­чений, значения критерия в критических точках;

• проводится выборочное обследование, по результатам которого рассчитывается фактическое значение выбранного критерия;

• на основе сравнения фактического и критического значений критерия делается вывод о правдоподобности или необходи­мости отклонения выдвинутой гипотезы.

В зависимости от вида проверяемых гипотез (о среднем значе­нии, законе распределения, взаимосвязи признаков и т.д.) выби­раются разные критерии (t-статистика (или коэффициент дове­рия), t-статистика Стьюдента, χ² -критерий Пирсона; F-критерий Фишера и др.), которые подразделяются на параметрические и непараметрические. Для проведения оценки с использованием па­раметрических критериев необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Непараметрические критерии могут применяться при любом законе распределения, но при этом со­храняется главное условие — независимость испытаний при фор­мировании выборочной совокупности, на основе которой прове­ряется выдвинутая гипотеза.

23. Ошибки первого и второго рода при проверке статистических гипотез

Поскольку при проверке гипотезы используются данные вы­борочного наблюдения, вывод о ее допустимости носит вероят­ностный характер, т.е. не исключена возможность ошибки. При этом могут возникать следующие ошибки:

• ошибка первого рода — если в результате проверки делается вывод о необходимости отклонить нулевую гипотезу, которая в действительности верна;

• ошибка второго рода — если нулевая гипотеза не отклоняется, хотя на самом деле она ошибочна.

24. Критерий согласия Xи квадрат (Критерий к. Пирсона).

Так как все предположения о характере того или иного распре­деления — это гипотезы, а не категорические утверждения, то они, естественно, должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью так называемых критериев согласия. Критерии согла­сия, опираясь на установленный закон распределения, дают воз­можность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда — существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвер­дить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распре­деления.

Существует ряд критериев согласия. Чаще других применяют критерии Пирсона, Романовского и Колмогорова. Рассмотрим их.

Критерий согласия Пирсона χ² (хи-квадрат) — один из основ­ных критериев согласия. Критерий предложен английским мате­матиком Карлом Пирсоном (1857—1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений. Критерий Пирсона

где

– число групп, на которые разбито эмпирическое распределение

- наблюдаемая частота признака в i–й группе

- теоретическая частота, рассчитанная по предполагаемому распределению

Для распределения χ² составлены таблицы, где указано критиче­ское значение критерия согласия χ²для выбранного уровня значи­мости а и данного числа степеней свободы v.

Уровень значимости а — вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависи­мости от важности и ответственности решаемых задач пользуют­ся следующими тремя уровнями значимости:

1. 

2. 

3. 

Например, вероятность 0,01 означает, что в одном случае из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза. В экономичес­ких исследованиях считается практически приемлемой вероят­ность ошибки 0,05, т.е. в 5 случаях из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза.

Кроме того, χ² -критерий, определяемый по таблице, зависит и от числа степеней свободы. Число степеней свободы v определяет­ся как число групп в ряду распределения к минус число связей z.

Под числом связей понимается число показателей эмпиричес­кого ряда, использованных при исчислении теоретических час­тот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты

Так, в случае выравнивания по кривой нормального распредегния имеется три связи:

Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределе­ния число степеней свободы определяется как v = к — 3, где к — число групп в ряду.

В случае выравнивания по кривой Пуассона v = к — 2, так как при построении частот используются две ограничивающие связи:

Для оценки существенности расчетное значение χ². сравни­вается с табличным χ²_табл

При полном совпадении теоретического и эмпирического рас­пределений χ² = 0, в противном случае χ² > 0.

Если χ²_расч > χ²_табл то при данном уровне значимости а и числе степеней свободы v гипотезу о несущественности (случай­ности) расхождений отклоняем.

В случае если χ²_расч <χ²_табл , заключаем, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностью (1 — а) можно утверждать, что расхождение меж­ду теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Используя критерий согласия χ² , необходимо соблюдать сле­дующие условия:

1) обьем исследуемой совокупности должен быть достаточно большим (N > 50), при этом частота или численность каждой группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить маленькие частоты;

2) эмпирическое распределение должно состоять из данных, по­лученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми. Если в эмпирическом ряду распределение задано частостями следует исчисять по формуле