8. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Следствием теоремы умножения вероятности и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез или формула Бейеса.

Допустим, что имеется полная группа неизвестных гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Н_n). Произведен опыт, в результате которого появилось событие А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Найти условную вероятность позволяет формула Бейеса (теорема гипотез):

.

В с.д., из теоремы умножения имеем:

.

Приравнивая правые части, имеем: , откуда

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем

.

Задача. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. Обозначим событие А – «в мишени обнаружена пробоина». До опыта возможны следующие гипотезы:

Н₁ – «ни первый, ни второй стрелок не попадают»;

Н₂ – «оба стрелка попадут»;

Н₃ – «первый стрелок попадёт, а второй не попадёт»;

Н₄ – «первый стрелок не попадёт, а второй попадёт».

Вероятности гипотез:

;

;

;

.

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

, , , .

После опыта гипотезы Н₁ и Н₂ становятся невозможны, а вероятности гипотез Н₃ и Н₄ будут равны:

; .

Контрольные вопросы

1. Что называют гипотезами?

2. Какому условию должны удовлетворять вероятности гипотез?

1. Как выглядит формула полной вероятности?

2. При каком условии применяется формула полной вероятности?

3. Как выглядит формула Бейеса?

4. При каких условиях применяется формула Бейеса?

Контрольные задания

1. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом. Наугад выбранное лицо является дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина (считать, что мужчин и женщин одинаковое количество).

2. В цехе работает 20 станков. Из ни 10 марки А, 6 – марки В, 4 – марки С. Вероятность, что качество детали окажется отличным для станков А, В и С соответственно равна 0,9, 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?

3. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном соотношении1:2:3, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%, 2%, 1%. Прибор, приобретенный НИИ, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор изготовлен первым заводом?

4. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступает на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект, если он есть, и существует нулевая вероятность того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Случайно выбранный транзистор был признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен?

5. Имеется три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных шара, а в третьей – 8 голубых. Наугад выбирается урна и из нее наугад выбирается шар. Найти вероятность того, что шар окажется красным.

6. В пяти ящиках лежат одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара. В двух других ящиках – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался голубым?

7. В мае вероятность дождливого дня равна 0,2. Для некоторой футбольной команды вероятность выиграть в ясный день равна 0,7, но зато в дождливый день эта вероятность равна лишь 0,4. Известно, что команда выиграла матч. Какова вероятность того, что в этот день шел дождь?

8. Из 100 студентов, пришедших на экзамен, 80 подготовились к экзамену, а 20 нет. Вероятность того, что подготовленный студент сдаст экзамен, равна 0,9. Аналогичная вероятность для неподготовленного студента равна 0,05. Наудачу выбранный студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что он был подготовлен к экзамену?

9. Из партии, в которой 5 изделий, извлечено одно бракованное изделие. Считая равновозможными все предположения о первоначальном составе партии, найти вероятность того, что в партии первоначально было именно а) одно бракованное изделие; б) три бракованных изделия.