18. Типы распределений дискретных случайных величин
Пусть Х – дискретная случайная величина. Название закона распределения определяется тем, как находится вероятность возможных значений этой с.в.
Биномиальное распределение
Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и р, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями
,
k
= 1, 2, …, n,
q
= 1 – p.
Ряд распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону, имеет вид:
-
X
0
1
2
…
n
P
…
Биномиальное распределение является распределением числа «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятностью р «успеха» и вероятностью q = 1 – p «неудачи».
Если Х подчиняется биномиальному распределению, то верны следующие соотношения:
М(х)=np, D(x)=npq.
18.2 Гипергеометрическое распределение
Случайная величина
Х
имеет гипергеометрическое
распределение
с параметрами N,
M,
n
(N,
M,
n
– натуральные числа,
,
),
если она принимает значения
с вероятностями
,
,
где
,
.
Ряд распределения случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, имеет вид:
-
X
…
P
…
Гипергеометрическое распределение является распределением числа объектов, обладающих заданным свойством среди n объектов, случайно извлеченных без возвращения из совокупности объектов, из которых M обладают этим свойством.
18.3 Геометрическое распределение
Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметрами р (0<p<1), если она принимает значения 1, 2, …, n, … с вероятностями
,
,
k
= 1, 2, …, n,
…
Геометрический
закон распределения является распределением
числа испытаний Бернулли до появления
первого «успеха», включая последнее
успешное испытание, если вероятность
«успеха» в каждом испытании равна р.
Действительно, чтобы осуществить событие
необходимо, чтобы произошло подряд
«неудач» с вероятностью
,
а затем «успех» с вероятностью р.
Если Х подчиняется геометрическому распределению, то верны следующие соотношения:
;
4. Распределение Пуассона
Рассмотрим дискретную с.в. Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения, образующие бесконечную последовательность: 0, 1, 2, …, m, …
Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой
,
где , m=0, 1, …
Ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, имеет вид
X |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
P |
|
|
|
… |
|
… |
Если Х подчиняется распределению Пуассона, то верны следующие соотношения:
М(х)=λ, D(x)=λ.
Характерной особенностью распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии параметру . Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.