16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение

Кроме характеристики положения – среднего значения с.в. – употребляется еще ряд характеристик, которые описывают то или иное свойство распределения. К их числу принадлежит дисперсия.

Рассмотрим два различных распределения:

Х	-100	0	100
P	0,3	0,4	0,3

У	-1	0	1
P	0,3	0,4	0,3

Данные распределения характеризуются одним и тем же средним значением, равным нулю, и различной степенью разбросанности значений около среднего значения (математического ожидания). Характеристикой рассеянности значений случайной величины около ее среднего значения является дисперсия.

Дисперсией D(x) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания, т.е.

.

Можно доказать, что дисперсия удовлетворяет формуле:

.

В самом деле,

На практике для вычисления дисперсии используются формулы:

- для дискретной случайной величины

- для непрерывной случайной величины.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобно пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины, с.к.о. обозначается :

.

Рассмотрим свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна 0, т.е. D(c)=0.

В с.д., М(с)=с, значит D(c)=M(c – M(c))²=M(c – c)²=M(0)=0.

2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате, т.е. D(сх) = с²D(х). В с.д., D(cx)=M(cx – M(cx))²=M(cx – cM(x))²=M(c²(x-M(x)²)= c²M((x-M(x))²=c²D(x).

3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме или разности дисперсий этих величин, т.е. если Х и Y независимы, то D(X ±Y) = D(X) + D(Y).

4. Дисперсия числа появлений события в одном испытании равно произведению вероятности этого события и вероятности того, что это событие не произойдет, т.е. D(x)=pq.

5. Дисперсия числа появлений события в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании, при условии, что вероятность появления события в каждом испытании одинакова, т.е. D(x)=npq.

Задачи

1. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости.

2. Вычислить М(х), D(x) и непрерывной с.в., плотность распределения которой выражается формулой:

Решение

1. Ряд распределения с.в. Х – число очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости имеет вид:

Х	1	2	3	4	5	6
P

Ранее найдено математическое ожидание рассматриваемой случайной величины: М(Х)=3,5. Для нахождения дисперсии сначала составим ряд распределения квадрата данной случайной величины:

Х2	1	4	9	16	25	36
P

М(Х²)= ; D(Х) = - 3,5² = .

2. - по свойству интеграла от нечетной функции с симметричными относительно нуля пределами интегрирования.

. В данном случае